- Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten mit den Längen a=5 cm und c=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.
Lösung
- Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen 5 cm und 7 cm?
Lösung
Gegeben: $a=5cm, b=7cm$
Gesucht: $c=?$
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$\qquad \qquad \Rightarrow\qquad c^2=a^2+b^2$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c=\sqrt{a^2+b^2}$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c=\sqrt{(5cm)^2+(7cm)^2}$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c\approx8,6cm$
Die Diagonale ist ca. $8,6cm$ lang.
- In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Länge der Basis 8 cm und die Höhe ist 4 cm lang. Wie lang sind die beiden Schenkel?
Lösung
Gegeben: $a=3,5cm \:(die Basis),\: \frac{a}{2},\: b=4cm\:(Die Hypothenuse)$
Gesucht: $h=?$
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$\qquad \qquad \Rightarrow\qquad b^2=(\frac{a}{2})^2+h^2$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h^2=b^2-(\frac{a}{2})^2$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h=\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h=\sqrt{(4cm)^2-(\frac{3,5cm}{2})^2}$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h\approx3,6cm$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$
Die Höhe ist ca. $3,6cm$ lang.
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Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide besitzt eine Seitenlänge von $2m$ die Höhe beträgt $2,5m$.
Berechne die Länge der Seitenkanten
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Lösung
Nach dem Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck $MCS$:
$\qquad
s^2=h^2+|\overline{MC}|^2$, mit $\overline{MC}$ gleich die Hälfte der Diagonalen des Quadrates
$ABCD$.
$
\qquad\qquad\qquad\:\:
s^2=h^2+(\frac{d}{2})^2
$
$
\qquad
\iff
\qquad
s=\sqrt{h^2 + \frac{d^2}{4}}
$
$d$ wird im Dreieck $ABC$ mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
$
\qquad \qquad \qquad
d=a^2+a^2=2a^2$
$d$ in $s$ einsetzen:
$
\qquad \qquad \qquad
s=\sqrt{h^2+\frac{2a^2}{4}}
$
$h=2,5m$ und $a=2m$ einsetzen:
$
\qquad \qquad \qquad
s=\sqrt{(2,5m)^2+\frac{2\cdot(2m)^2}{4}}=2,87m
$
$
\qquad \qquad \qquad
s\approx2,9m
$
Die Seitenkante der Pyramide hat eine Lange von ca. $2,9m$.