Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

• wenn die Ortsvektoren gleich sind, sind sie identisch
• wenn die Ortsvektoren nicht gleich sind, sind sie parallel.

Übungsaufgaben

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$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}3\\7\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}9\\14\\4 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix}}$


Lösung
Lineare Unabhängigkeit

$\qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}3\\7\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix}}$ $\qquad $ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}9\\14\\4 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix}}$

Prüfe, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix} $

Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und berechne für jedes $\lambda$.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 6=-8\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4}\\ 9=-12\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4}\\ -12=16\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4} \end{cases} $

Mit alle $\lambda$ gleich den selben Wert, sind die Vektoren linear abhängig.

$\qquad$ ➩ Die Vektoren $g$ und $h$ sind linear abhängig.
$\qquad$ ➪ Daher sind die beiden Geraden parallel oder identisch.

Setze den Ortsvektor $\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}$ des Aufpunktes von $g$ in die Gleichung der zweiten Gerade $h$ ein.

$ \qquad\qquad \begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix} $

Stelle wieder ein lineares Gleichungssystem auf und berechne für jedes s:

$ \qquad \qquad\: \begin{cases} 3=9-8\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=\frac{3}{4} &\rightarrow &s=0,75\\ 7=14-12\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=-\frac{7}{12} &\rightarrow &s\approx0,59\\ 3=4+16\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=-\frac{1}{16} &\rightarrow &s\approx-0,063 \end{cases} $

s hat drei verschiedene Werte.
Mit schon zwei unterschiedliche Werte für s, ist das Gleichungssystem nicht lösbar!

$\qquad$ ➩ Der Aufpunkt der Gerade g liegt also nicht auf der Geraden h.
$\qquad$ Die beiden Geraden können nur noch parallel sein.

$\qquad$ ➪ h$||$g oder g$||$h





$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}9\\-3\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-7\\5\\-5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6 \end{pmatrix}}$


Lösung
$\mathrm{Lineare\; Unabhängigkeit}$

$\qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}9\\-3\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad $ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-7\\5\\-5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6 \end{pmatrix}}$

$\mathrm{Prüfe,\; ob\; die\; Richtungsvektoren\; linear\; abhängig\; sind.}$

$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}9\\-3\\6 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6 \end{pmatrix} $

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; auf\; und\; berechne\; für\; jedes}$ $\lambda$.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 9=-9\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ -3=3\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ 6=-6\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1 \end{cases} $

$\mathrm{Mit\; alle}$ $\lambda$ $\mathrm{gleich\; den\; selben\; Wert,\; sind\; die\; Vektoren\; linear\; abhängig.}$

$\qquad$ ➩ $\mathrm{Die\; Vektoren\; g\; und\; h\; sind\; linear\; abhängig.}$
$\qquad$ ➪ $\mathrm{Daher\; sind\; die\; beiden\; Geraden\; parallel\; oder\; identisch.}$

$\mathrm{Setze\; den\; Ortsvektor}$ $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$ $\mathrm{des\; Aufpunktes\; von}g\mathrm{in\; die\; Gleichung\; der\; zweiten\; Gerade}h\mathrm{ein.}$

$ \qquad\qquad \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix} $

$\mathrm{Stelle\; wieder\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; auf\; und\; berechne\; für\; jedes}$ $s:$

$ \qquad \qquad\: \begin{cases} 2=-7-9\cdot s \:\: &s=-1\\ 2=5+3\cdot s \:\: &s=-1\\ 1=-5-6\cdot s \:\: &s=-1 \end{cases} $



$\qquad$ ➩ $Die\; beiden\; Geraden\; identisch.$
$\qquad$ ➪ $h=g$




$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix}}$


Lösung
Lineare Unabhängigkeit

$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix}}$

$\mathrm{Prüfe,\; ob\; die\; Richtungsvektoren\; linear\; abhängig\; sind.}$

$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix} $

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; auf\; und\; berechne\; für\; jedes}$ $\lambda$.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} -4&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ -2&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda= \frac{1}{2}\\ 6&=-6\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda= \frac{3}{5} \end{cases} $

$\mathrm{Da\; alle}$ $\lambda$ $\mathrm{unterschiedliche\; Werte\; haben\; sind\; die\; Vektoren\; <b>linear\; unabhängig</b>.}$
➪ $\mathrm{Die\; beiden\; Geraden\; besitzen\; einen\; Schnittpunkt\; oder\; sind\; windschief\; zueinander.}$

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; (LGS)\; auf\; und\; berechne.\; (aus\; g\; und\; h)}$.

$ \qquad \begin{cases} 1-4r&=-1-4s \\ -2-2r&=-2-4s \\ 1+6r&=2+10s \end{cases} \qquad \xrightarrow[\text{}]{\text{stelle um}} \qquad \begin{cases} 2&=4r-4s \qquad \:\:\:\:\:\:I\\ 0&=2r-4s \qquad \:\:\:\:\:\:II\\ -1&=-6r+10s \qquad III \end{cases} $

$ \:\: I-II:\: 2=2r \Rightarrow \textcolor{green}{\textbf{r=1}}\: |\: r\: in\: III:\: -1=-6(1)+10s \iff 5=10s \Rightarrow$ $\textcolor{blue}{\textbf{s=0,5}} $

$\mathrm{Das\; LGS\; ist\; Lösbar,\; denn\; haben\; die\; Geraden\; einen\; <b>Schnittpunkt</b>.}$

$\mathrm{Jetzt\; r\; und\; s\; in\; I,\; II\; oder\; III\; einsetzen\; um\; den\; Schnittpunk\; zu\; haben:}$

$ \qquad \begin{cases} 1-4 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= -1 - 4 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \\ -2-2 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= -2 - 4 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \\ 1+6 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= 2 + 10 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} \textcolor{green}{\textbf{-3}} &= \textcolor{blue}{\textbf{-3}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{green}{\textbf{-4}} &= \textcolor{blue}{\textbf{-4}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{green}{\textbf{7}} &= \textcolor{blue}{\textbf{7}} &\rightarrow \textbf{W.A.} \end{cases} $

$\mathrm{Damit\; ist\; der\; Schnittpunkt\; s\; mit\; den\; Koordinaten:}$

$ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s=\begin{pmatrix}-3\\-4\\7 \end{pmatrix} $



$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}0\\8\\-7 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-9\\0\\7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix}}$


Lösung
Lineare Unabhängigkeit

$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}0\\8\\-7 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-9\\0\\7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix}}$

$\mathrm{Prüfe,\; ob\; die\; Richtungsvektoren\; linear\; abhängig\; sind.}$

$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix} $

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; auf\; und\; berechne\; für\; jedes}$ $\lambda$.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 1&=3\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0,3 \\ 2&=1\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0,5 \\ -2&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0.25 \end{cases} $

$\mathrm{Da\; alle}$ $\lambda$ $\mathrm{unterschiedliche\; Werte\; haben\; sind\; die\; Vektoren\; <b>linear\; unabhängig</b>.}$
➪ $\mathrm{Die\; beiden\; Geraden\; besitzen\; einen\; Schnittpunkt\; oder\; sind\; windschief\; zueinander.}$

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; (LGS)\; auf\; und\; berechne.\; (aus\; g\; und\; h)}$.

$ \qquad \begin{cases} 0+1r &=-9+3s \\ 8+2r &=0+1s \\ -7-2r &=7-4s \end{cases} \qquad \xrightarrow[\text{}]{\text{stelle um}} \qquad \begin{cases} 9 &=-1r+3s \qquad I\\ 8 &=-2r+1s \qquad II\\ -14 &=2r-4s \qquad \:\:\:III \end{cases} $

$ \:\: II-III:\: -6=-3s \Rightarrow \textcolor{green}{\textbf{s=2}}\: |\: s\: in\: I:\: 9=-r+3(2) \iff \textcolor{blue}{\textbf{r=-3}} $

$\mathrm{Das\; LGS\; ist\; Lösbar,\; denn\; haben\; die\; Geraden\; einen\; <b>Schnittpunkt</b>.}$

$\mathrm{Jetzt\; r\; und\; s\; in\; I,\; II\; oder\; III\; einsetzen\; um\; den\; Schnittpunk\; zu\; haben:}$

$ \qquad \begin{cases} 0+1 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= -9 +3 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \\ 8+2 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= 0 +1 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \\ -7-2 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= 7 - 4 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} \textcolor{blue}{\textbf{-3}} &= \textcolor{green}{\textbf{-3}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{blue}{\textbf{2}} &= \textcolor{green}{\textbf{2}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{blue}{\textbf{-1}} &= \textcolor{green}{\textbf{-1}} &\rightarrow \textbf{W.A.} \end{cases} $

$\mathrm{Damit\; ist\; der\; Schnittpunkt\; s\; mit\; den\; Koordinaten:}$

$ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s=\begin{pmatrix}-3\\2\\-1 \end{pmatrix} $