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Lagerbeziehung

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Lagerbeziehung


Mithilfe der Parametergleichung einer Geraden lässt sich einfach überprüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt und an welcher Stelle der Geraden er gegebenenfalls liegt.



Gegenseitige Lage Punkt/Gerade und Punkt/Strecke

Beispiel:
Gegeben sei die Gerade $g$ durch $A(3|2|3)$. Weise nach, dass der Punkt $P(2|4|4)$ auf der Geraden $g$ liegt.

Prüfe außerdem, ob der Punkt $P$ auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt.

Lösung:
Mit den Punkten $A$ und $B$ stellen wir die Parametergleichung von $g$:
$ \qquad\qquad g:\vec{x}=\overrightarrow{0A}+r\cdot \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\2\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1-3\\6-2\\5-3 \end{pmatrix} $

$ \qquad\qquad\iff g:\vec{x} = \begin{pmatrix}3\\2\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\2 \end{pmatrix}, \:mit\:r\in\mathbb{R} $


Punktprobe für $P$:
$ \qquad\qquad \overrightarrow{0P} =\overrightarrow{0A}+r\cdot \overrightarrow{AB} \iff \begin{pmatrix}2\\4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\2 \end{pmatrix} $

Das LGS (Lineare GleichungSystem) wird nach $r$ gelöst:

$ \qquad\qquad \begin{cases} 2=3+r\cdot (-2)\qquad\:\: \Rightarrow \textcolor{red}{r=\frac{1}{2}} \\ 4=2+r\cdot 4 \qquad\qquad \Rightarrow \textcolor{red}{r=\frac{1}{2}}\\ 4=3+r\cdot 2 \qquad\qquad \Rightarrow \textcolor{red}{r=\frac{1}{2}} \end{cases} $

Mit dem Parameterwert $r=\frac{1}{2}$ gleich für die Drei Gleichungen, ist die Punktprobe erfüllt.

$\qquad\qquad$ Also, $\Rightarrow$ $P$ liegt auf $g$.


Parametervergleich:
$A: r=0$
$B: r=1$
$P: r=0,5$
$\qquad\qquad \Rightarrow P$ liegt auf $\overline{AB}$

Grafishe Darstellung:



Übungsaufgaben


  1. Prüfe , ob die Punkte $P(0|0|6)$, $Q(3|3|3)$, $R(3|4|3)$ auf der Geraden $g$ durch $A(2|2|4)$ und $B(4|4|2)$ oder sogar auf der Strecke $\overline{AB}$ liegen.
    Lösung
    Parametergleichung $g$ über $A$ und $B$.

    $ \qquad g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}2\\2\\4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4-2\\4-2\\2-4 \end{pmatrix} $

    $ \qquad\qquad\iff g:\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}2\\2\\4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\-2 \end{pmatrix} $


    Punktprobe für $P$, $Q$ und $R$:

    $ \qquad$ Für $P$:
    $ \qquad\qquad \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} \iff \begin{pmatrix}0\\0\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\-2 \end{pmatrix} $

    LGS (Lineare GleichungSystem) nach $r$ lösen:

    $ \qquad\qquad \begin{cases} 0=2+r\cdot 2 \qquad\qquad \Rightarrow \textcolor{red}{r=-1}\\ 0=2+r\cdot 2 \qquad\qquad \Rightarrow \textcolor{red}{r=-1}\\ 6=4+r\cdot (-2) \qquad\:\: \Rightarrow \textcolor{red}{r=-1} \end{cases} $

    Mit dem Parameterwert $r=-1$ für die Drei Gleichungen, ist die Punktprobe erfüllt.

    $ \qquad\qquad \Rightarrow P $ liegt auf der Gerade $g$.

    $ \qquad r=-1 $ ist nicht zwischen $0$ und $1$ $\qquad \Rightarrow$ $\qquad$ $P$ liegt nicht auf der Strecke $\overline{AB}$.
    $ \qquad$ Für $Q$:
    $ \qquad\qquad \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} \iff \begin{pmatrix}3\\3\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\-2 \end{pmatrix} $

    LGS (Lineare GleichungSystem) nach $r$ lösen:

    $ \qquad\qquad \begin{cases} 3=2+r\cdot 2 \qquad\qquad \Rightarrow \textcolor{red}{r=0,5}\\ 3=2+r\cdot 2 \qquad\qquad \Rightarrow \textcolor{red}{r=0,5}\\ 3=4+r\cdot (-2) \qquad\:\: \Rightarrow \textcolor{red}{r=0,5} \end{cases} $

    Mit dem Parameterwert $r=0,5$ für die Drei Gleichungen, ist die Punktprobe erfüllt.

    $ \qquad\qquad \Rightarrow Q $ liegt auf der Gerade $g$.

    $ \qquad r=0,5 $ ist zwischen $0$ und $1$ $\qquad \Rightarrow$ $\qquad$ $Q$ liegt auf der Strecke $\overline{AB}$.
    $ \qquad$ Für $R$:
    $ \qquad\qquad \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} \iff \begin{pmatrix}3\\3\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\-2 \end{pmatrix} $

    LGS (Lineare GleichungSystem) nach $r$ lösen:

    $ \qquad\qquad \begin{cases} 3=2+r\cdot 2 \qquad\qquad \Rightarrow \textcolor{red}{r=0,5}\\ 4=2+r\cdot 2 \qquad\qquad \Rightarrow \textcolor{red}{r=1}\\ 3=4+r\cdot (-2) \qquad\:\: \Rightarrow \textcolor{red}{r=0,5} \end{cases} $

    Die Parameterwerte stimmen nicht überein für die Drei Gleichungen, die Punktprobe ist nicht erfüllt.

    $ \qquad\qquad \Rightarrow R $ liegt nicht auf der Gerade $g$.

    $ \qquad r $ liegt nicht auf der Strecke $\overline{AB}$.


  2. Für welchen Wert von $t$ liegt $P(4+t|5t|t)$ auf der Geraden $g$ durch $A(2|2|4)$ und $B(4|4|2)?$
    Lösung
    Punktprobe für $P$ und Berechnung von $t$.

    $\qquad$ $P$ liegt auf $g$ $\Rightarrow$ $\begin{pmatrix}4+t\\5t\\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix} $

    Lineare Gleichungssysteme aufstellen und lösen.

    $\qquad \begin{cases} 4\:\:\: + &t &= &2 &+ &r\cdot 2 \qquad\: \Rightarrow &2&=&2\cdot r&-&t \qquad\: \textcolor{red}{I}\\ &5t&= &2 &+ &r\cdot 2 \qquad\: \Rightarrow &-2&=&2\cdot r&-&5\cdot t \:\:\:\: \textcolor{red}{II}\\ &t&= &4 &+ &r\cdot (-2) \:\:\: \Rightarrow &-4&=&(-2)\cdot r&-&t \qquad \textcolor{red}{III} \end{cases} $

    $ \qquad \textcolor{red}{I}-\textcolor{red}{II} \Rightarrow \begin{split} \begin{cases} 2=&2\cdot r&-&t \\ 2=&-2\cdot r&+&5t \\ \hline 4=&&&4t \end{cases} \end{split} $
    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow \textcolor{red}{t=1} $
    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\: t $ in $ \textcolor{red}{III} \Rightarrow -4=-2\cdot r-1 \iff \textcolor{red}{r=1,5} $


    $\qquad\qquad\qquad$ Für $\textcolor{red}{r=1}$ liegt $P\begin{pmatrix} 5\\5\\1 \end{pmatrix}$ auf der Geraden $g$.
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