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Ebenengleichungen - von Parameterform in Normalenform umwandeln

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Parameterform in Normalenform



Eine Ebene in Parameterform wird in die entsprechende Normalenform umgewandelt, indem man den zugehörigen Normalenvektor $vec{n}$ berechnet, einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $vec{a}$ wählt und die beide Vektoren in die allgemeine Normalform einsetzt.

  • von Parameterform in Normalform

  • von Normalform in Koordinatenform



Die Formen:


Parameterform Normalenform
$E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}$ $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$



Weitere Umwandlungen




Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Nornalenform um.

  1. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Parameterform der Ebene $E$

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 1-1\cdot 0\\ 1\cdot 1-0\cdot 1\\ 0\cdot 0-1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0 $

    Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

    $ \qquad\qquad\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} $

    Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

    $ \qquad\qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix}∘\begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix}=0 $


  2. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Parameterform der Ebene $E$

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot 2-(-1)\cdot 4\\ -1\cdot (-3)-2\cdot 1\\ 1\cdot 4-0\cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = 0 $

    Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

    $ \qquad\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} $

    Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $ oder $ \Rightarrow E:[\vec{x}-\vec{a}]∘\vec{n}=0 $

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E: \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix}∘\begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $


  3. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$

    Lösung
    Parameterform der Ebene $E$

    $ \qquad\qquad E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} $

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot (-4)-3\cdot 3\\ 3\cdot (-2)-(-2)\cdot (-4)\\ (-2)\cdot 3-0\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $

    $ \qquad\qquad E: \begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =0 $

    Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

    $ \qquad \qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} $

    Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} ∘ \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $


  4. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$

    Lösung
    Parameterform der Ebene $E$

    $ \qquad\qquad E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} $

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot (-1)-4\cdot 1\\ 4\cdot 2-(-1)\cdot (-1)\\ (-1)\cdot 1-2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = 0 $

    Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

    $ \qquad \qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} $

    Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} ∘ \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $
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