Koordinatenform in Parameterform
Eine Ebene in Koordinatenform wird in die entsprechende Parameterform umgewandelt, indem man setzt:
$\qquad \qquad x=0+r\cdot1+s\cdot0, y=0+r\cdot0+s\cdot1,$
löst die Ebenengleichung nach $z$ auf, und schreibt schließlich $x, y$ und $z$ passend so übereinander, dass sich die gesuchte Parameterform leicht ablesen lässt.
Vorsicht: das kann nur so gehen, wenn $z$ in der Koordinatenform vorkommt. Falls das nicht der Fall ist, aber z.B. $y$ vorkommt, vertausche die Rollen von $y$ und $z$ im obenen Text.
Die Formen:
| Koordinatenform | Parameterform |
|---|---|
| $E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$ | $E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}$ |
Weitere Umwandlungen
Übungsaufgaben
Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Parameterform um.
-
$E:2y-3=0$
Lösung$E:2y-3=0$
Grundwissen: Ebenendarstellung.
Die Ebenengleichung hat kein $z$ und kann nicht nach $z$ aufgelöst werden, deswegen nach $y$ auflösen:
$y=\frac{3}{2}$
Setze jetzt $x=r$ und $z=s$ und schreibe $x, y$ und $z$ passend übereinander.
$\qquad x=0+1\cdot r+0\cdot s$
$\qquad y=\frac{3}{2}+0\cdot r+0\cdot s$
$\qquad x=0+0\cdot r+1\cdot s$
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ \frac{3}{2} \\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
Die Parameterform lautet:
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ \frac{3}{2} \\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ -
$E:2x-y+3z-5=0$
Lösung$E:2x-y+3z-5=0$
Grundwissen: Ebenendarstellung.
Löse die Ebenengleichung nach $z$ auf:
$z=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$
Ersetze $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$
$z=-\frac{2}{3}r+\frac{1}{3}s+\frac{5}{3}$
Schreibe $x, y$ und $z$ passend übereinander.
$x=0+1\cdot r+0\cdot s$
$y=0+0\cdot r+1\cdot s$
$z=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\cdot r+\frac{1}{3}\cdot s$
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{5}{3}\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\ -\frac{2}{3}\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} $
Die beiden Richtungsvektoren können noch mit 3 multipliziert werden.
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{5}{3}\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix} $ -
$E:3x+4z-5=0$
LösungGrundwissen: Ebenendarstellung.
Löse die Ebenengleichung nach $z$ auf:
$z=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$
Ersetze $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$
$z=-\frac{3}{4}r+\frac{5}{4}$
Schreibe $x, y$ und $z$ passend übereinander.
$x=0+1\cdot r+0\cdot s$
$y=0+0\cdot r+1\cdot s$
$z=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}\cdot r+0\cdot s$
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{5}{4}\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\ -\frac{3}{4}\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\ 0\end{pmatrix} $
Die beiden Richtungsvektoren können noch mit 4 multipliziert werden.
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{5}{4}\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} $ -
$E:-x+2y+4z=0$
LösungGrundwissen: Ebenendarstellung.
Löse die Ebenengleichung nach $z$ auf:
$z=\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}y$
Ersetze $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$
$z=\frac{1}{4}r-\frac{1}{2}s$
Schreibe $x, y$ und $z$ passend übereinander.
$x=0+1\cdot r+0\cdot s$
$y=0+0\cdot r+1\cdot s$
$z=0+\frac{1}{4}\cdot r-\frac{1}{2}\cdot s$
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ 0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\ \frac{1}{4}\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} $
Die beiden Richtungsvektoren können noch mit 4 bzw. 2 multipliziert werden.
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ 0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix} $
oder
$E:\vec{x}= r\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix} $