Koordinatenform in Normalform
Eine Ebene in Koordinatenform wird in die entsprechende Normalform umgewandelt, indem man die Einträge des Normalenvektors $\vec{n}$ aus den Koeffizienten der Koordinaten $x, y$ und $z$ in der Koordinatenform abliest und die Einträge von $\vec{a}$ als die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der die Koordinatengleichung erfüllt auswählt.
Die Formen:
| Koordinatenform | Normalform |
|---|---|
| $E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$ | $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$ |
Weitere Umwandlungen
Übungsaufgaben
Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Normalenform um.
-
$E:x+y-z+1=0$
Lösung$E:x+y-z+1=0$
Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x, y$ und $z$ überein.
$\qquad E:1\cdot x + 1\cdot y + (-1)\cdot z+1=0$
$\qquad \qquad \vec{n}= \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix}$
Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:
$x$ und $y$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad x=1 \:(a_1)$
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + (-1)\cdot z = -1$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2-z=-1$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow z=3\: (a_3)$
Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix}$
Und die Normalenform der Ebene:
$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}=0$ -
$E:2x-y+3z-5=0$
Lösung$E:2x-y+3z-5=0$
Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ überein.
$\qquad E:2\cdot x + (-1)\cdot y + 3\cdot z -5 = 0$
$\qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}$
Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:
$y$ und $z$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2\cdot x + (- 1)\cdot 1 + 3\cdot 1 = 5$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2x=3$
$\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow y=\frac{3}{2}\: (a_1)$
Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\1 \\1 \end{pmatrix}$
Und die Normalenform der Ebene:
$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}=0$ -
$E:x+15y+2z=19$
Lösung$E:x+15y+2z=19$
Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x, y$ uns $z$ überein.
$E:1\cdot x + 15\cdot y + 2\cdot z = 19$
$\qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\15\\2 \end{pmatrix}$
Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen:
$y$ und $z$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 1\cdot x + 15\cdot 1 + 2\cdot 1 = 19$
$\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow x=2\: (a_1)$
Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix}$
Und die Normalenform der Ebene:
$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 1\\15\\2\end{pmatrix}=0$ -
$E:-x+2y+4z=0$
Lösung$E:-x+2y+4z=0$
Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ überein.
$\qquad E:(-1)\cdot x + 2\cdot y + 4\cdot z = 0$
$\qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix}$
Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $a$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:
$y$ und $z$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow -1\cdot 1 + 2y + 4\cdot 1 = 0$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2y=-3$
$\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow y=-\frac{3}{2}\: (a_1)$
Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\ – \frac{3}{2} \\1 \end{pmatrix}$
Und die Normalenform der Ebene:
$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\-\frac{3}{2}\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} -1\\2\\4\end{pmatrix}=0$