Übungsaufgaben

1. $ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = 0 $
   
   
   Lösung
   $ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = 0 $
   
   Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):
   
   $ \qquad \qquad E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} $
   
   $ \qquad \qquad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = x\cdot 1 + y\cdot 1 + z\cdot (-1)= x + y -z $
   
   $ \qquad \qquad \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot (-1)= -1 $
   
   Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:
   
   $ x+y-z+1=0 $
   
   Also die Koordinatenform von $E$ lautet:
   
   $ E:x+y-z=-1 $
   
   Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:
   
   $E$ nach $z$ umstellen:
   
   $ \qquad E:x+y-z=-1 \qquad \qquad \qquad | \qquad \textcolor{red}{-x} \:/\: \textcolor{red}{-y} $
   
   $ \qquad \qquad \qquad\: -z=-1-x-y \qquad \:\:\:| \qquad \textcolor{red}{:(-1)} $
   
   $ \qquad\qquad\qquad\:\:\:\: z=1+x+y $
   
   Setze $x=r$ und $y=s \qquad \Rightarrow \:\: z=1+1\cdot r+1\cdot s$
   
   Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{1}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$} \end{cases} $
   
   Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:
   
   $ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} $



2. $E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
   
   
   Lösung
   $ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = 0 $
   
   Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):
   
   $ \qquad \qquad E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} $
   
   $ \qquad \qquad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = x\cdot 0 + y\cdot 1 + z\cdot 0= 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z $
   
   $ \qquad \qquad \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = 2\cdot 0+2\cdot 1+2\cdot 0= 2 $
   
   Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:
   
   $ 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z-2=0 $
   
   Also die Koordinatenform von $E$ lautet:
   
   $ 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z=2 $
   
   Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:
   
   $E$ nach $y$ umstellen:
   
   $ \qquad E:y=2+0\cdot x+0\cdot z $
   
   Setze $x=r$ und $z=s \qquad \Rightarrow \:\: y=2+0\cdot r+0\cdot s$
   
   Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{2}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$} \end{cases} $
   
   Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:
   
   $ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} $



3. $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
   
   
   Lösung
   $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
   
   Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):
   
   $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
   
   $ \qquad \qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = x\cdot (-10)+y\cdot (-3)+z\cdot 2=-10x-3y+2z $
   
   $ \qquad \qquad \begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 2\cdot (-10)+3\cdot (-3)+4\cdot 2=-21 $
   
   Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:
   
   $ E:-10x-3y+2z+21=0 $
   
   $ E:-10x-3y+2z=-21 $
   
   Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:
   
   $E$ nach $z$ umstellen:
   
   $ -10x-3y+2z=-21 \qquad | \qquad \textcolor{red}{+10x} \:/\: \textcolor{red}{+3y} $
   
   $ 2z=-21+10x+3y \qquad | \qquad \textcolor{red}{:2} $
   
   $ z=-10,5+5x+1,5y $
   
   Setze $x=r$ und $y=s$: $ \qquad \Rightarrow \qquad z=-10,5+5r+1,5s $
   
   Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{-10,5}+\textcolor{red}{5}\cdot r+\textcolor{red}{1,5}\cdot s$} \end{cases} $
   
   Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:
   
   $ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\-10,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1,5 \end{pmatrix} $



4. $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
   
   
   Lösung
   $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
   
   Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):
   
   $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
   
   $ \qquad \qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = x\cdot 4+y\cdot 3+z\cdot 2=4x+3y+2z $
   
   $ \qquad \qquad \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 2\cdot 4+ (-1)\cdot 3+0\cdot 2=5 $
   
   Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:
   
   $ E:4x+3y+2z-5=0 $
   
   $ E:4x+3y+2z=5 $
   
   Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:
   
   $E$ nach $z$ umstellen:
   
   $ 4x+3y+2z=5 \qquad | \qquad \textcolor{red}{-4x} \:/\: \textcolor{red}{-3y} $
   
   $ 2z=5-4x-3y \qquad | \qquad \textcolor{red}{:2} $
   
   $ z=2,5-2x-1,5y $
   
   Setze $x=r$ und $y=s$: $ \qquad \Rightarrow \qquad z=2,5-2r-1,5s $
   
   Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{2,5}+\textcolor{red}{-2}\cdot r+\textcolor{red}{-1,5}\cdot s$} \end{cases} $
   
   Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:
   
   $ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\2,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1,5 \end{pmatrix} $