Normalform in Koordinatenform
Eine Ebene in Normalform wird in die entsprechende Koordinatenform umgewandelt, indem man das vorliegende Skalarprodukt ausmultipliziert und den erhaltenen Term zusammenfasst.
Die Formen:
| Normalenform | Koordinatenform |
|---|---|
| $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$ | $E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$ |
Weitere Umwandlungen
Übungsaufgaben
Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.
-
$E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Lösung$E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Erst das Skalarprodukt berechnen:
$E:4\cdot x+(-7)\cdot(y-1)+2\cdot(z-2)=0$
Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:
$E:4x-7y+7+2z-4=0$
und jetzt zusammenfassen:
$E:4x-7y+2z+3=0$
Die Koordinatenform lautet:
$E:4x-7y+2z+3=0$ oder $E:4y-7y+2z=-3$ -
$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Lösung$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Erst das Skalarprodukt berechnen:
$E:0\cdot(x-2)+1\cdot(y-2)+0\cdot(z-2)=0$
Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:
$E:y-2=0$
Die Koordinatenform lautet:
$E:y-2=0$ oder $E:y=2$
(Hinweis: Die Ebene $E:y-2=0$ ist parallel zur Ebene-$x-z$) -
$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Lösung$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0$
Berechne das Skalarprodukt:
$E:1\cdot x+1\cdot y+(-1)\cdot z-(1\cdot0+1\cdot0+(-1)\cdot1)=0$
Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:
$E:x+y-z+1=0$
Die Koordinatenform lautet:
$E:x+y-z+1=0$ oder $E:x+y-z=-1$
-
$E:\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$
Lösung$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Berechne das Skalarprodukt:
$E:-6x-3y+2z=0 \qquad | \qquad \cdot (-1)$
$E:6x+3y-2z=0$
Die Koordinatenform lautet:
$E:6x+3y-2z=0$