III- Abstände – Hessesche Normalenform
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Berechne den Abstand zwischen der Ebene $E$ und dem Punkt $P$.
$ 3x-2y+4z=10 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ P(2|3|1) $Lösung$ 3x-2y+4z=10 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ P(2|3|1) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: von\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\-2\\4 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Ebenengleichung\: umstellen $
$\qquad$ $ 3x-2y+4z-10=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Abstand\: berechnen $
$\qquad$ $ d_{(P,E)}= $ $ \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 2-2\cdot 3+4\cdot 1-10} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\-2\\4 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-6}{\sqrt{29}} \end{vmatrix} =1,11417 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}\approx1,1142\: LE $ -
Gebe die Ebene in Hessescher Normalenform an und bestimme die Abstände der Punkte $P,\: Q$ und $R$ von der Ebene.
a) $E:3x+6y-2z=4, \:P(4|-1|2), \:Q(-4|6|4), \:R(6|1|10)$Lösung$E:3x+6y-2z=4, \:P(4|-1|2), \:Q(-4|6|4), \:R(6|1|10)$
$a_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$
$ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:P(4|-1|2)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 4+6\cdot (-1)-2\cdot 2-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \frac{2}{7} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{2}{7}\: LE $
$a_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$
$ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:Q(-4|6|4)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot (-4)+6\cdot 6-2\cdot 4-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \frac{12}{7} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=\frac{12}{7}\: LE $
$a_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$
$ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:R(6|1|10)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{((R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 6+6\cdot 1-2\cdot 10-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} =0 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=0\: LE $
b) $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} =0 $ $\:$ $ \:P(2|2|3), \:Q(4|-1|0), \:R(8|3|2) $Lösung$b_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:P(2|2|3) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
$\qquad$ Multipliziere aus:
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $
$\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:
$\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 2+4\cdot 2+(-2)\cdot 3-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-32}{6} \end{vmatrix} = \frac{16}{3} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{16}{3}\: LE $
$b_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:Q(4|-1|0) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
$\qquad$ Multipliziere aus:
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $
$\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:
$\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 4+4\cdot (-1)+(-2)\cdot 0-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-30}{6} \end{vmatrix} = 5 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=5\: LE $
$b_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:R(8|3|2) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
$\qquad$ Multipliziere aus:
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $
$\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:
$\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 8+4\cdot 3+(-2)\cdot 2-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-2}{6} \end{vmatrix} = \frac{1}{3} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=\frac{1}{3}\: LE $
$c)$ $ E:3x+4y-12z=6,\: P(1|2|5),\: Q(-2|4|1),\: R(6|3|2) $Lösung$c_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:P(1|2|5) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 1+4\cdot 2-12\cdot 5-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-55}{13} \end{vmatrix} = \frac{55}{13} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{55}{13}\: LE $
$c_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:Q(-2|4|1) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot (-2)+4\cdot 4-12\cdot 1-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-8}{13} \end{vmatrix} = \frac{8}{13} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=\frac{8}{13}\: LE $
$c_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:R(6|3|2) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 6+4\cdot 3-12\cdot 2-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{0}{13} \end{vmatrix} = 0 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=0\: LE $ -
Gegeben seien die drei Punkte $A(1|1|1),\: B(3|2|-2),\: C(-1|0|3)$.
a) Bestimme eine Normalenform der Ebene E, die durch diese drei Punkte gegeben ist.
b) Bestimme die Hessesche Normalenform von $E$ und berechne den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung.LösungPunkte $A(1|1|1),\: B(3|2|-2),\: C(-1|0|3)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Parameterform\: ein $
$\qquad$ $ E:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3-1\\2-1\\-2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-1\\0-1\\3-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Normalenform\: ein $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2-(-3)\cdot (-1)\\ (-3)\cdot (-2)-2\cdot 2\\ 2\cdot (-1)-1\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $ \vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Die Normalenform (Normalengleichung) von $E$ lautet:
$\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: die\: Hessesche\: Normalenform $
$\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{(-1)^2+2^2}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $
$\qquad$ $ \iff E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: der\: Abstand\: des\: Koordinatenursprungs\: O(0|0|0)\: von\: E $
$\qquad$ $ d_{(O,E)}= \begin{vmatrix} – \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} (-1+2) = \frac{1}{\sqrt{5}} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $0$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(O,E)}=\frac{1}{\sqrt{5}} \: LE $
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Lösung
$a) $ Höhe von $D$ über $ABC:\:\: E_1:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_1 $
$\qquad$ $ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 5-4\\4-(-1)\\0-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_1 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\cdot 1-(-1)\cdot3\\ (-1)\cdot (-5)-1\cdot 1\\ 1\cdot 3-5\cdot (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_1: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 8x+4y+28z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 4\cdot 8+(-1)\cdot 4+1\cdot 28 =56 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_1: 8x+4y+28z=56\:\: |:4 $
$\qquad \iff E_1:2x+y+7z=14 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_1}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_1}}= \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_1:2x+y+7z-14=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {2\cdot 3+1\cdot 3+7\cdot 6-14} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 5,0350
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx5,04 \: LE $
$b) $ Höhe von $B$ über $ACD:\:\: E_2:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AC}+s\cdot \overrightarrow{AD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_2 $
$\qquad$ $ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-4\\3-(-1)\\6-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_2 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 5-1\cdot 4\\ 1\cdot (-1)-(-5)\cdot 5\\ (-5)\cdot 4-3\cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_2: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 11x+24y-17z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 4\cdot 11+(-1)\cdot 24+1\cdot (-17) =3 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_2: 11x+24y-17z=3 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_2}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_2}}= \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_2:11x+24y-17z-3=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {11\cdot 5+24\cdot 4+(-17)\cdot 0-3} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,7133
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,71 \: LE $
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $
$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $
$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_1 $
$\qquad$ $ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 5-4\\4-(-1)\\0-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_1 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\cdot 1-(-1)\cdot3\\ (-1)\cdot (-5)-1\cdot 1\\ 1\cdot 3-5\cdot (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_1: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 8x+4y+28z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 4\cdot 8+(-1)\cdot 4+1\cdot 28 =56 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_1: 8x+4y+28z=56\:\: |:4 $
$\qquad \iff E_1:2x+y+7z=14 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_1}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_1}}= \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_1:2x+y+7z-14=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {2\cdot 3+1\cdot 3+7\cdot 6-14} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 5,0350
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx5,04 \: LE $
$b) $ Höhe von $B$ über $ACD:\:\: E_2:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AC}+s\cdot \overrightarrow{AD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_2 $
$\qquad$ $ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-4\\3-(-1)\\6-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_2 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 5-1\cdot 4\\ 1\cdot (-1)-(-5)\cdot 5\\ (-5)\cdot 4-3\cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_2: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 11x+24y-17z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 4\cdot 11+(-1)\cdot 24+1\cdot (-17) =3 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_2: 11x+24y-17z=3 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_2}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_2}}= \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_2:11x+24y-17z-3=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {11\cdot 5+24\cdot 4+(-17)\cdot 0-3} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,7133
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,71 \: LE $
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $
$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $
$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $