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Übungen Geometrie - Vektorrechnung

Übungsaufgaben



  1. Gegeben sind die drei Punkte $A(3|5|1)$, $\: B(-5|7|17)$, und $C(6|2|13)$

    a) Gebe eine Gerade der Gleichung an, die durch die Punkte $A$ und $B$ geht. Zeige, dass der Punkt $M(-1|6|9)$ der Mittelpunkt der Strecke $AB$ ist.

    b) Weise nach, dass das Dreieck $AMC$ rechtwinklig ist.
    Gebe den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ an.
    Lösung
    $A(3|5|1)$, $\: B(-5|7|17)$, und $C(6|2|13)$

    $\:\:$ a) Gebe die Gerade $g$ durch $A$ und $B$.

    $\qquad\qquad g_{AB}:\vec{x}= \begin{pmatrix} 3\\5\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5-3\\7-5\\17-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\2\\16 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Zeige,\: dass\: M\: der\: Mittelpunkt\: von\: AB\: ist $

    $\qquad$ $x_M= \frac{1}{2} (3-5)=-1 \:\:|\:\: y_M= \frac{1}{2} (5+7)=6 \:\:|\:\: z_M= \frac{1}{2} (1+17)=9 $

    $\qquad$ $ \longrightarrow \: M \begin{pmatrix} -1\\6\\9 \end{pmatrix}, \:\: $ mit $ r=\frac{1}{2} $

    $\:\:$ b) Weise nach, dass das Dreieck $AMC$ rechtwinklig ist.

    $\qquad$ Berechne $\overrightarrow{AM}$ und $\overrightarrow{MC}$

    $\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AM}= \begin{pmatrix} -1-3\\6-5\\9-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\1\\8 \end{pmatrix} $ $ \:\:|\:\: $ $ \overrightarrow{MC}= \begin{pmatrix} 6+1\\2-6\\13-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\-4\\4 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Berechne das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AM}$ und $\overrightarrow{MC}$

    $\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{MC} = -4\cdot7+1\cdot (-4)+8\cdot 4=0 \:\: \longrightarrow \:\: AMC $ ist rechtwinklig.

    $\qquad$ Gebe den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ an.

    $\qquad\qquad$ Betrag von $AM$: $ | \overrightarrow{AM} |= \sqrt{(-4)^2+1^2+8^2}=9 $

    $\qquad\qquad$ Betrag von $MC$: $ | \overrightarrow{AM} |= \sqrt{7^2+(-4)^2+4^2}=9 $

    $\qquad\qquad$ Betrag von $AB$: $ | \overrightarrow{AB} |= 2\cdot | \overrightarrow{AM} |= 2\cdot 9= 18 $

    $\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ABC=9\cdot 9=81\:FE$

  2. Die Gerade $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\0\\12 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-3 \end{pmatrix}; \: r\in\mathbb{R} $ und der Punkt $B(0|3|6)$ legen eine Ebene $E$ fest.

    a) Weise nach, dass $3x+2y+z=12$ eine Gleichung für die Ebene $E$ ist.

    b) Die Ebene $E$ schneidet die $x$-$y$-Ebene. Gebe die Koordinaten von zwei Punkten an, die auf der Schnittgeraden der Ebene $E$ mit der $x$-$y$-Ebene liegen.
    Lösung
    $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\0\\12 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-3 \end{pmatrix} $ und $B(0|3|6)$

    a) Weise nach, dass $3x+2y+z=12$ eine Gleichung für die Ebene $E$ ist.

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: g\: und\: B\: in\: E\: ein\: und\: prüfe\: ob\: 12\: raus\: kommt $

    $\qquad$ $ *\:\: 3(0+r)+2(0+0r)+(12-3r)=12 $

    $\qquad$ $ \:\: \iff 3r+12-3=12 $

    $\qquad$ $ \:\: \iff 12=12\:\: W.A.\:\: \longrightarrow\:\: $ $g$ liegt auf $E$.


    $\qquad$ $ *\:\: 3(0)+2(3)+6=12 $

    $\qquad$ $ \:\: \iff 12=12\:\: W.A.\:\: \longrightarrow\:\: $ $B$ liegt auf $E$.



    b) Koordinaten von Punkten, die auf der Schnittgeraden der Ebene $E$ mit der $x$-$y$-Ebene liegen.

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Gebe\: die\: Koordinaten\: von\: 2\: Punkten\: an $

    $\qquad$ Schnittpunkt mit $x$-$y$-Ebene $\longrightarrow$ $z=0$

    $\qquad$ Seien: $ P \begin{pmatrix} x_P\\y_P\\z_P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_P\\y_P\\0 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ und $ \:\:\: $ $ Q \begin{pmatrix} x_Q\\y_Q\\z_Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_Q\\y_Q\\0 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ $P$ hat einen Schnittpunkt mit $E$:

    $\qquad$ $\Longrightarrow 3 \cdot x_P+2 \cdot y_P+0 \cdot z_P=12 $

    $\qquad$ Für $x_P=0, \:\:\:3\cdot 0+2\cdot y_P+0\cdot z_P=12 $

    $\qquad\qquad$ $ \iff 2\cdot y_P=12 $
    $\qquad\qquad$ $ \iff y_P=6 $ $ \longrightarrow P \begin{pmatrix} 0\\2\cdot 6\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\6\\0 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ $Q$ hat einen Schnittpunkt mit $E$:

    $\qquad$ $\Longrightarrow 3 \cdot x_Q+2 \cdot y_Q+0 \cdot z_Q=12 $

    $\qquad$ Für $y_Q=0, \:\:\:3\cdot x_Q+2\cdot 0+0\cdot z_Q=12 $

    $\qquad\qquad$ $ \iff 3\cdot x_Q=12 $
    $\qquad\qquad$ $ \iff x_Q=4 $ $ \longrightarrow Q \begin{pmatrix} 3\cdot 4\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\0\\0 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Da bekommst du die Punkte $ P \begin{pmatrix} 0\\6\\0 \end{pmatrix} \:\: $ und $ \:\: Q \begin{pmatrix} 4\\0\\0 \end{pmatrix} $





  3. Lösung
    $A(6|0|0), \: B(0|8|0), \: C(6|8|0)$ und $S(0|0|10)$

    a) Gebe eine Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte $S$ und $C$ geht.

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: S\: als\: Ortsvektor \:(Stützvektor) $

    $\qquad$ $ g_{SC}: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 6\\8\\-10 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Zeige\: dass\: M\: der\: Mittelpunkt\: von\: SC\: ist $

    $\qquad$ $ x_{SC}= \frac{0+6}{2}=3\:\:|\:\: y_{SC}= \frac{0+8}{2}=4\:\:|\:\: z_{SC}= \frac{10+0}{2}=5\ $ $ \iff M(3|4|5) $


    b) Weise nach, dass das Dreieck $ABM$ ein rechtwinkliges Dreieck ist.

    $\qquad$ Berechne $\overrightarrow{AM}$ und $\overrightarrow{AB}$

    $\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AM}= \begin{pmatrix} 3-6\\4-0\\5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\4\\5 \end{pmatrix} $ $ \:\:|\:\: $ $ \overrightarrow{MB}= \begin{pmatrix} 3-0\\4-8\\5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\-4\\5 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Berechne das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AM}$ und $\overrightarrow{MB}$

    $\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{MB} = -3\cdot3+4\cdot (-4)+5\cdot 5=0 $

    $\qquad\qquad$ $ \longrightarrow \:\: $ AMB ist rechtwinklig, bei $M$.


  4. Gegeben ist die Ebene $E$ durch $E:3x-4y+z=11$ und die Gerade $g$ durch $ g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\0\\5 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix}; \:\: r\in\mathbb{R}. $

    $\:\:$ a) Zeige, dass die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt.

    $\:\:$ b) Ermittle eine Gleichung für eine Gerade $h$, die ebenfalls in der Ebene $E$ liegt und gleichzeitig senkrecht zur der Geraden $g$ verläuft.

    Lösung
    $E:3x-4y+z=11\:\:$ und $ \:\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\0\\5 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix}; \:\: r\in\mathbb{R}. $

    a) Zeige, dass die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt.

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: g\: in\: E\: ein.\: \longrightarrow \:g \:und \:E \:schneiden\: sich $

    $\qquad$ $ g\cap E \Rightarrow 3(2+3r)-4(2r)+(5-r) $

    $\qquad\qquad$ $ \iff 6+9r-8r+5-r=11 $

    $\qquad\qquad$ $\longrightarrow$ Alle Punkte der Geraden $g$ liegen in der Ebene


    b) Ermittle eine Gleichung für die Gerade $h$.

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize h\: liegt\: in\: der\: Ebene\: E\: und\: ist\: senkrecht\: zu\: g $

    $ \:\:\: $ Der Richtungsvektor von $h\:$ ($\overrightarrow{rv}_h\:$) muss senkrecht zum Normalenvektor
    $ \:\:\: $ von $E\:$ ($\vec{n}_E\:$) und senkrecht zum Richtungsvektor von $g\:$ ($\overrightarrow{rv}_g$).

    $\qquad$ $ \Longrightarrow \:\: \overrightarrow{rv}_h \perp \vec{n}_E \:\:\:\:\:\: $ und $ \:\:\:\:\:\: \overrightarrow{rv}_h \perp \overrightarrow{rv}_g $

    $\qquad$ $ \iff \overrightarrow{rv}_h \perp \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix} \:\:\: $ und $ \:\:\: \overrightarrow{rv}_h \perp \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Berechne das Kreuzprodukt von $\vec{n}_E\:$ und $\:\overrightarrow{rv}_g$

    $\qquad$ $ \iff \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\cdot (-1)-1\cdot 2\\ 3\cdot 1-3\cdot (-1)\\ 3\cdot 2-3\cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\6\\18 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Also, der Richtungsvektor von $h$ ist z.B.: $ \overrightarrow{rv}_h = \begin{pmatrix} 2\\6\\18 \end{pmatrix} = 2\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\9 \end{pmatrix} $.

    $\qquad$ So kann eine Gleichung für $h$ sein:

    $\qquad\qquad\qquad$ $ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\9 \end{pmatrix} $, mit $r\in\mathbb{}R.$


Punktspiegelungen

Punktspiegelungen




Bei der Punktspiegelungen, lassen sich alle Spiegelungen auf die Spiegelung eines Punktes an einem andre Punkt zurückführen.
Unterschiedliche Spiegelungen:

  1. Punkt an Punkt

  2. Punkt an Ebene

  3. Punkt an Gerade


Aufgabenstellung

  1. Berechnung des gespielten Punktes

  2. Rückführung der Spiegelung Punkt-Ebene auf die Spiegelung des Punktes am Fußpunkt des Lots auf die Ebene

  3. Rückführung der Spiegelung Punkt-Gerade auf die Spiegelung des Punktes am Fußpunkt des Lots auf die Gerade

Beispielaufgaben – Punkt an Punkt

Spiegle den Punkt $P$ am Punkt $Q$

  1. $P(4|3|-7), \: Q(5|0|6)$
    Lösung
    $P(4|3|-7), \: Q(5|0|6)$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: Ortsvektor\: von\: P\: auf $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 4\\3\\-7 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: Vektor\: zwischen\: P\: und\: Q\: auf $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 5-4\\0-3\\6-(-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-3\\13 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\: die\: Gleichung\: ein\: und\: berechne $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PS} $ $\qquad \iff \begin{pmatrix} 4\\3\\-7 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 1\\-3\\13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\-3\\19 \end{pmatrix} $

    $\qquad \iff \overrightarrow{OP^{\prime}} = \begin{pmatrix} 6\\-3\\19 \end{pmatrix} $


    $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large P^{\prime}(6|-3|19) $


  2. $P(2|-4|9), \: Q(1|7|7)$

    $\:\:$
    $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(0|18|5)$


  3. $P(-5|3|4), \: Q(6|-3|3)$

    $\:\:$
    $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(17|-9|2)$


  4. $P(1+a|3-2a|a^2), \: Q(1-a|a-2|2a-2)$
    Lösung
    $P(1+a|3-2a|a^2), \: Q(1-a|a-2|2a-2)$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: Ortsvektor\: von\: P\: auf $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 1+a\\3-2a\\a^2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: Vektor\: zwischen\: P\: und\: Q\: auf $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1-a-1-a\\a-2-3+2a-\\2a-2-a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a\\3a-5\\-a^2+2a-2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\: die\: Gleichung\: ein\: und\: berechne $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PQ} $

    $\qquad \iff \begin{pmatrix} 1+a\\3-2a\\a^2 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} -2a\\3a-5\\-a^2+2a-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3a\\4a-7\\-a^2+4a-4 \end{pmatrix} $

    $\qquad \iff \overrightarrow{OP^{\prime}} = \begin{pmatrix} 1-3a\\4a-7\\-a^2+4a-4 \end{pmatrix} $


    $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:

    $\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large P^{\prime}[(1-3a|4a-7|-(a-2)^2] $


  5. $P(1|-3|5), \: Q(4|-1|9)$

    $\:\:$
    $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(7|1|13)$

Beispielaufgaben – Punkt an Ebene

Spiegele den Punkt $P$ an der Ebene $E$

  1. $P(7|14|-4), \: E:2x+6y-4z=2$

    Lösung
    $P(7|14|-4), \: E:2x+6y-4z=2$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: eine\: Hilfsgerade\: h $

    $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7\\14\\-4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2\\6\\-4 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: h\: mit\: E $

    $\qquad$ $ 2(7+2r)+6(14+6r)-4(-4-4r)=2 $

    $\qquad$ $ \iff\: 56r=-112\: \longrightarrow\: r=-2 $

    $\qquad$ Setzte $r$ in $h$ ein

    $\qquad$ $h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 7\\14\\-4 \end{pmatrix} + (-2)\cdot \begin{pmatrix} 2\\6\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\2\\4 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Der Lotfußpunkt lautet: $ L \begin{pmatrix} 3\\2\\4 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\: die\: Gleichung\: und\: berechne $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}}= \overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PL} $

    $\qquad \iff $ $ \overrightarrow{OP^{\prime}}= \begin{pmatrix} 7\\14\\-4 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 3-7\\2-14\\4-(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\-10\\12 \end{pmatrix} $


    $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:

    $\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large P^{\prime}(-1|-10|12) $


  2. $P(2|4|6), \: E:x-2y-z=1$

    $\:\:$
    $Spiegelpunkt\: P^{\prime} \begin{pmatrix} \frac{19}{3}| – \frac{14}{3}| \frac{5}{3} \end{pmatrix} $


  3. $P(10|5|5),$ Ebene $E$ durch die Punkte $A(5|7|0),$ $B(9|3|-2)$ und $C(7|-1|2)$

    Lösung
    $P(10|5|5),$ Ebene $E$ durch die Punkte $A(5|7|0),$ $B(9|3|-2)$ und $C(7|-1|2)$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: durch\: A,\:B \:und\: C\: in\: die\: Koordinatenform $

    $\qquad$ Schreibe in Parameterform:

    $\qquad$ $ E:\vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\7\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 9-5\\3-7\\-2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 7-5\\-1-7\\2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\7\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 4\\-4\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2\\-8\\2 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Berechne die Normalform:

    $\qquad\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-4\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\-8\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\cdot 2-(-2)\cdot (-8)\\ (-2)\cdot 2-4\cdot 2\\ 4\cdot (-8)-(-4)\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} $

    $\qquad\qquad$ Die Normalform lautet:

    $\qquad\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\7\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} =0 $

    $\qquad$ Schreibe die Koordinatenform:

    $\qquad\qquad$ Multipliziere aus:

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} = -24x-12y-24z $

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\7\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} = 5\cdot (-24)+7\cdot (-12)+0\cdot (-24) =-204 $

    $\qquad\qquad$ Setzte zusammen:

    $\qquad$ Die Koordinatenform lautet: $ E:-24x-12y-24z=-204 $

    $P(10|5|5), E:-24x-12y-24z=-204$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: eine\: Hilfsgerade\: h $

    $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 10\\5\\5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: h\: mit\: E $

    $\qquad$ $ -24(10-24r)-12(5-12r)-24(5-24r)=-204 $

    $\qquad \iff $ $ -240+576r-60+144r-120+576r=-204 $

    $\qquad \iff $ $ 1296r-420=-204\qquad |+420 $

    $\qquad \iff $ $ 1296r=216\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\: |:1296 \qquad \longrightarrow \qquad r=\frac{1}{6} $

    $\qquad$ Setzte $r$ in $h$ ein:

    $\qquad\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 10\\5\\5 \end{pmatrix} + \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\3\\1 \end{pmatrix} $

    $\qquad\qquad$ Der Lotfußpunkt lautet: $\:\: L \begin{pmatrix} 6\\3\\1 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\: die\: Gleichung\: und\: berechne $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP} +2\cdot \overrightarrow{PL} $

    $\qquad \iff $ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \begin{pmatrix} 10\\5\\5 \end{pmatrix} +2\cdot \begin{pmatrix} 6-10\\3-5\\1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} $


    $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:

    $\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large P^{\prime}(2|1|-3) $


  4. Gegeben sind der Punkt $P(9|-12|2)$ und die Ebene $E:x-y=5.$ Gesucht ist der Spiegelpunkt $B$ des Punktes $P$ an der Ebene $E.$

    Lösung
    $P(9|-12|2)$ und $E:x-y=5$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: eine\: Hilfsgerade\: h $

    $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 9\\-12\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: h\ mit\: E $

    $\qquad$ $ 1(9+r)-1(-12-r)+0(2+0r)=5 $

    $\qquad \iff $ $ 9+r+12+r=5 $

    $\qquad \iff $ $ 2r+21=5\qquad |-21 $

    $\qquad \iff $ $ 2r=-16\qquad\:\:\:\: \:\:\:\: |:2 \:\: \longrightarrow \:\: r=-8 $

    $\qquad$ Setzte $r$ in $h$ ein:

    $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 9\\-12\\2 \end{pmatrix} + (-8)\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-4\\2 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Der Lotfußpunkt lautet: $ L \begin{pmatrix} 1\\-4\\2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\ die\: Gleichung\: und\: berechne $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OP} +2 \cdot \overrightarrow{PL^{\prime}} $

    $\qquad \iff $ $ \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 9\\-12\\2 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 1-9\\-4-(-12)\\2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7\\4\\2 \end{pmatrix} $


    $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $B$ ist:

    $\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large B(-7|4|2) $


  5. In einem Labor wird die Wirkung von Laserstrahlen auf eine schleimige Substanz untersucht. Im Punkt $P(7|5|15)$ befindet sich ein Laserstrahler, der in Richtung

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} $

    strahlt und auf einen Spiegel trifft, der in der Ebene $E$ liegt mit:

    $\qquad\qquad$ $E:3x+2y+5z=30.$

    Ein mit der schleimigen Substanz gefülltes Reagenzglas befindet sich im Punkt $R(-3|5|0)$.

    a) Stelle eine Gleichung der Gerade auf, in welcher der Laserstrahl verläuft, bevor er auf den Spiegel trifft. Bestimme zudem den Winkel, in welchem der Laserstrahl auf den Spiegel trifft.

    b) Bestimme die Gerade $f$, in welcher der reflektierte Lichtstrahl liegt und prüfe, ob der reflektierte Laserstrahl das Reagenzglas trifft.

    Lösung
    a) Stelle eine mögliche Gleichung der Geraden auf:

    $\qquad$ $ g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7\\5\\15 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow Berechne\: der\: spitze\: Winkel\: \alpha\: zwischen\: g\: und\: E $

    $\qquad$ $ sin(\alpha)= \large \frac{ \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\2\\5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\2\\5 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } = \frac{ \begin{vmatrix} 21 \end{vmatrix} } { \sqrt{38} \cdot \sqrt{21} } \: \longrightarrow \: \normalsize \alpha \approx48,02^{\circ}. $
    b) Stelle die Gleichungen des reflektierten Strahls f

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade\: h\ auf $

    $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7\\5\\15 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\5 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow Bestimme\: den\: Lotfußpunkt\: L $

    $\qquad$ Berechne den Schnittpunkt $h$ mit $E$.

    $\qquad$ $ 3(7+3s)+2(5+2s)+5(15+5s)=30 $

    $\qquad$ $ \iff 21+9s+10+4s+75+25s=30 $

    $\qquad$ $ \iff 38s=-76\:\: \longrightarrow \:\: s=-2, \:\: \longrightarrow \:\: L(1|1|5) $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Spiegle\: der\: Punkt\: P(7|5|15)\: an\: L $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{0P^{\prime}}= \overrightarrow{0P} + 2\cdot \overrightarrow{PL} = \begin{pmatrix} 7\\5\\15 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 1-7\\1-5\\5-15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\-3\\-5 \end{pmatrix} . $

    $\qquad$ Ein weiterer Punkt auf der Gerade könnte man zum Beispiel mit $r=-1$ erhalten

    $\qquad\qquad$ $ Q= \begin{pmatrix} 7\\5\\15 \end{pmatrix} + (-1)\cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\3\\14 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Spiegle\: Q\: an\: der\: Ebene\: E $

    $\qquad$ $ C \large \begin{pmatrix} \frac{-108}{19}|\frac{-53}{19}|\frac{-9}{19} \end{pmatrix} $ .

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Kürze\: den\: Richtungsvektor $

    $\qquad$ $\Longrightarrow$ die Geradengleichung durch die Punkte $B$ und $C$ lautet:

    $\qquad\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} -5\\-3\\-5 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -13\\4\\86 \end{pmatrix} , \:\: t\in\mathbb{R} $.

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Prüfe\: ob\: der\: Laserstrahl\: auf\: das\: Reagenzglas\: trifft $

    $\qquad$ Führe eine Punktprobe mit $R(-3|5|0)$ und der Geraden h durch

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} -3\\5\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\-3\\-5 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -13\\4\\86 \end{pmatrix} $ $ \iff $ $ \begin{cases} -3&=-5-13t\: \longrightarrow\: t=\frac{-2}{13}\\ 5&=-3+4t\: \longrightarrow\: t=2\\ 0&=-5+86t\: \longrightarrow\: t=\frac{5}{86} \end{cases} $

    $\qquad$ Kein $t\in\mathbb{R}$ erfüllt diese Gleichung

    $\qquad \Longrightarrow $ das Reagenzglas liegt nicht in dem Laserstrahl.


Beispielaufgaben – Punkt an Gerade

Spiegle den Punkt $P$ an der Geraden $g$

  1. $ P(4|0|4),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 6\\6\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} $
    Lösung
    $ P(4|0|4),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 6\\6\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsebene\: E\: auf,\: senkrecht\: zu\: g,\: die\: P\: beinhaltet. $

    $\qquad$ $ E:2x+y-z=d $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Punktprobe:\: setzte\: P\: in\: E\: ein $

    $\qquad$ $ 2(4)+0-4=d \: \iff \: d=4 \:\: \longrightarrow \:\: E:2x+y+z=4 $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: den\: Schnittpunkt\: S\:von\: E\: und\: g $

    $\qquad$ $ 2(6+2t)+1(6+t)-1(2-t)=4 $

    $\qquad \iff $ $ 12+4t+6+t-2+t=4 $

    $\qquad \iff $ $ 6t=-12 \:\: \longrightarrow \:\: t=-2 $

    $\qquad$ Den Schnittpunkt S lautet:

    $\qquad$ $ S= \begin{pmatrix} 6\\6\\2 \end{pmatrix} + (-2)\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-4\\6-2\\2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\4\\4 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Spiegle\: P\: an\: S,\: um\: den\: Bildpunkt\: P’\: zu\: erhalten $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP} +2 \cdot \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 4\\0\\4 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 2-4\\4-0\\4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\8\\4 \end{pmatrix} $


    $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:

    $\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large P^{\prime} \begin{pmatrix} 0\\8\\4 \end{pmatrix} $


  2. $ P(-1|1|2),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\5\\4 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -2\\-2\\1 \end{pmatrix} $

    $\:\:$
    $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(3|1|10)$

  3. $ P(3|-1|5),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} $
    Lösung
    $ P(3|-1|5),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsebene\: E\: auf,\: senkrecht\: zu\: g,\: die\: P\: beinhaltet. $

    $\qquad$ $ E:x+3y+2z=d $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Punktprobe:\: setzte\: P\: in\: E\: ein $

    $\qquad$ $ 3+3(-1)+2(5)=d \: \iff \: d=10 \:\: \longrightarrow \:\: E:x+3y+2z=10 $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: den\: Schnittpunkt\: S\:von\: E\: und\: g $

    $\qquad$ $ 1(1+t)+3(-1+3t)+2(1+2t)=10 $

    $\qquad \iff $ $ 1+t-3+9t+2+4t=10 $

    $\qquad \iff $ $ 14t=10 \:\: \longrightarrow \:\: t=\frac{5}{7} $

    $\qquad$ Den Schnittpunkt S lautet:

    $\qquad$ $ S= \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} + \frac{5}{7} \cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+\frac{5}{7}\\ -1+\frac{15}{7}\\ 1+\frac{10}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{12}{7}\\ \frac{8}{7}\\ \frac{17}{7} \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Spiegle\: P\: an\: S,\: um\: den\: Bildpunkt\: P’\: zu\: erhalten $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP} +2 \cdot \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 3\\-1\\5 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} \frac{12}{7}-3\\ \frac{8}{7}+1\\ \frac{17}{7}-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{7}\\ \frac{23}{7}\\ \frac{-1}{7} \end{pmatrix} $


    $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:

    $\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large P^{\prime} \begin{pmatrix} \frac{3}{7}|\frac{23}{7}|\frac{-1}{7} \end{pmatrix} $


  4. $ P(8|-7|7),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\1\\11 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-1\\-1 \end{pmatrix} $

    $\:\:$
    $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(12|5|11)$

Winkel und Abstände III

III- Abstände – Hessesche Normalenform



  1. Berechne den Abstand zwischen der Ebene $E$ und dem Punkt $P$.
    $ 3x-2y+4z=10 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ P(2|3|1) $
    Lösung
    $ 3x-2y+4z=10 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ P(2|3|1) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: von\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\-2\\4 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Ebenengleichung\: umstellen $

    $\qquad$ $ 3x-2y+4z-10=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Abstand\: berechnen $

    $\qquad$ $ d_{(P,E)}= $ $ \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 2-2\cdot 3+4\cdot 1-10} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\-2\\4 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-6}{\sqrt{29}} \end{vmatrix} =1,11417 $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}\approx1,1142\: LE $



  2. Gebe die Ebene in Hessescher Normalenform an und bestimme die Abstände der Punkte $P,\: Q$ und $R$ von der Ebene.

    a) $E:3x+6y-2z=4, \:P(4|-1|2), \:Q(-4|6|4), \:R(6|1|10)$
    Lösung
    $E:3x+6y-2z=4, \:P(4|-1|2), \:Q(-4|6|4), \:R(6|1|10)$

    $a_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$

    $ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:P(4|-1|2)$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 4+6\cdot (-1)-2\cdot 2-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \frac{2}{7} $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{2}{7}\: LE $
    $a_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$

    $ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:Q(-4|6|4)$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot (-4)+6\cdot 6-2\cdot 4-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \frac{12}{7} $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=\frac{12}{7}\: LE $
    $a_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$

    $ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:R(6|1|10)$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d_{((R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 6+6\cdot 1-2\cdot 10-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} =0 $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=0\: LE $


    b) $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} =0 $ $\:$ $ \:P(2|2|3), \:Q(4|-1|0), \:R(8|3|2) $
    Lösung
    $b_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$

    $\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:P(2|2|3) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $

    $\qquad$ Multipliziere aus:

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $

    $\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:

    $\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 2+4\cdot 2+(-2)\cdot 3-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-32}{6} \end{vmatrix} = \frac{16}{3} $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{16}{3}\: LE $
    $b_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$

    $\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:Q(4|-1|0) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $

    $\qquad$ Multipliziere aus:

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $

    $\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:

    $\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 4+4\cdot (-1)+(-2)\cdot 0-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-30}{6} \end{vmatrix} = 5 $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=5\: LE $
    $b_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$

    $\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:R(8|3|2) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $

    $\qquad$ Multipliziere aus:

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $

    $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $

    $\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:

    $\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d_{(R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 8+4\cdot 3+(-2)\cdot 2-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-2}{6} \end{vmatrix} = \frac{1}{3} $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=\frac{1}{3}\: LE $


    $c)$ $ E:3x+4y-12z=6,\: P(1|2|5),\: Q(-2|4|1),\: R(6|3|2) $
    Lösung
    $c_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$

    $\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:P(1|2|5) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 1+4\cdot 2-12\cdot 5-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-55}{13} \end{vmatrix} = \frac{55}{13} $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{55}{13}\: LE $
    $c_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$

    $\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:Q(-2|4|1) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot (-2)+4\cdot 4-12\cdot 1-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-8}{13} \end{vmatrix} = \frac{8}{13} $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=\frac{8}{13}\: LE $
    $c_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$

    $\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:R(6|3|2) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $

    $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d_{(R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 6+4\cdot 3-12\cdot 2-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{0}{13} \end{vmatrix} = 0 $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=0\: LE $



  3. Gegeben seien die drei Punkte $A(1|1|1),\: B(3|2|-2),\: C(-1|0|3)$.
    a) Bestimme eine Normalenform der Ebene E, die durch diese drei Punkte gegeben ist.
    b) Bestimme die Hessesche Normalenform von $E$ und berechne den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung.
    Lösung
    Punkte $A(1|1|1),\: B(3|2|-2),\: C(-1|0|3)$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Parameterform\: ein $

    $\qquad$ $ E:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3-1\\2-1\\-2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-1\\0-1\\3-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} } $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Normalenform\: ein $

    $\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

    $\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2-(-3)\cdot (-1)\\ (-3)\cdot (-2)-2\cdot 2\\ 2\cdot (-1)-1\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Der Ortsvektor: $ \vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Die Normalenform (Normalengleichung) von $E$ lautet:

    $\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: die\: Hessesche\: Normalenform $

    $\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{(-1)^2+2^2}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $

    $\qquad$ $ \iff E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: der\: Abstand\: des\: Koordinatenursprungs\: O(0|0|0)\: von\: E $

    $\qquad$ $ d_{(O,E)}= \begin{vmatrix} – \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} (-1+2) = \frac{1}{\sqrt{5}} $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $0$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_{(O,E)}=\frac{1}{\sqrt{5}} \: LE $


  4. Mehr Aufgaben

    Pyramide
    Lösung
    $a) $ Höhe von $D$ über $ABC:\:\: E_1:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_1 $

    $\qquad$ $ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 5-4\\4-(-1)\\0-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} } $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_1 $

    $\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

    $\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\cdot 1-(-1)\cdot3\\ (-1)\cdot (-5)-1\cdot 1\\ 1\cdot 3-5\cdot (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $

    $\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_1: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} =0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 8x+4y+28z $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 4\cdot 8+(-1)\cdot 4+1\cdot 28 =56 $

    $\qquad$ Setzte zusammen:

    $\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_1: 8x+4y+28z=56\:\: |:4 $

    $\qquad \iff E_1:2x+y+7z=14 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_1}\: der\: Ebene\: $

    $\qquad$ $ \vec{n_{E_1}}= \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $E_1:2x+y+7z-14=0$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $

    $\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {2\cdot 3+1\cdot 3+7\cdot 6-14} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 5,0350


    $\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_D\approx5,04 \: LE $
    $b) $ Höhe von $B$ über $ACD:\:\: E_2:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AC}+s\cdot \overrightarrow{AD}$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_2 $

    $\qquad$ $ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-4\\3-(-1)\\6-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} } $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_2 $

    $\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

    $\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 5-1\cdot 4\\ 1\cdot (-1)-(-5)\cdot 5\\ (-5)\cdot 4-3\cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $

    $\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_2: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} =0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 11x+24y-17z $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 4\cdot 11+(-1)\cdot 24+1\cdot (-17) =3 $

    $\qquad$ Setzte zusammen:

    $\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_2: 11x+24y-17z=3 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_2}\: der\: Ebene\: $

    $\qquad$ $ \vec{n_{E_2}}= \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $E_2:11x+24y-17z-3=0$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $

    $\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {11\cdot 5+24\cdot 4+(-17)\cdot 0-3} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,7133


    $\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,71 \: LE $
    $c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $

    $\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $

    $\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

    $\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $

    $\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $

    $\qquad$ Setzte zusammen:

    $\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $

    $\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $

    $\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067


    $\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $
    $c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $

    $\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $

    $\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

    $\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $

    $\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $

    $\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $

    $\qquad$ Setzte zusammen:

    $\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $

    $\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

    $\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $

    $\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067


    $\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $

Vektorrechnung - Pyramide

Maths-High-School-6-1

Lösung
Lies die Punkte ab:

$ A \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ B \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ C \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ D \begin{pmatrix} -100\\0\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ S \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Bestimme\: die\: Gleichungen\: der\: Geraden\: der\: vier\: Pyrami­denkanten $

$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ AS \longrightarrow g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50-0\\50-0\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ BS \longrightarrow h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -50-0\\50-100\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ CS \longrightarrow i: \vec{x}= \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -50+100\\50-100\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ DS \longrightarrow j: \vec{x}= \begin{pmatrix} -100\\0\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} -50+100\\50-0\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -100\\0\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} 50\\50\\50 \end{pmatrix} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Bestimme\: P $

$ \:\:\:\:\:\: $ Mit $z=10m\: \longrightarrow\: P \begin{pmatrix} x\\y\\10 \end{pmatrix} , $ da sind nur noch $x$ und $y$ zu bestimmen.

$ \:\:\:\:\:\: $ $P$ ist den Schnittpunkt zwischen den Geraden $AP$ und $BS$

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \iff \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} x-0\\y-0\\10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: als\: Lineares\: Gleichungssystem\: (LGS) $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ $ \begin{cases} 0 &+ &x \cdot r &= 0 &- &50 \cdot s \:\:\:\: (I)\\ 0 &+ &y \cdot r &= 100 &- &50 \cdot s \:\:\:\: (II)\\ 0 &+ &10 \cdot r &= 0 &+ &50 \cdot s \:\:\:\: (III) \end{cases} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: (III)\: in\: (I)\: ein $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow\:\: x\cdot r=-10\cdot r \qquad |\: :r \qquad \longrightarrow \underline{x=-10} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ Für $x=-10$, $r=1$ und $s=\frac{1}{5}=0.2$

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: und\: s\: in\: (II)\: ein $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow\:\: y\cdot 1=100-50\cdot \frac{1}{5} \qquad \longrightarrow \underline{y=90} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large P \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} $


$ \:\:\:\: $ $ \qquad $ Gleichung der Geraden $AP$: $\overrightarrow{AP}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -10-0\\90-0\\10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bilde\: die\: Steigung\: von\: P:\: (Sinus\: des\: Steigungswinkels) $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $m_P= \large \frac { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } =\frac{\sqrt{83}}{83} =0,1097 $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Bestimme\: die\: Gleichung\: der\: entsprechenden\: Geraden\: PQ\: $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Bilde die Differenz von P, da P auf PQ liegt

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ PQ= \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50r-90\\-50r+10\\50r-10 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Bestimme\: die\: Gleichung\: der\: entsprechenden\: Geraden\: PQ\: $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Bilde die Differenz von P, da P auf PQ liegt

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Steigung von $PQ=AP=\frac{\sqrt{83}}{83}$

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Gleichung\: von\: Q $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ m_Q=\frac { \large \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 50r-90\\-50r+10\\50r-10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 50r-90\\-50r+10\\50r-10 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } = \large \frac{\sqrt{83}}{83} $

$ \large \iff $ $ \large \frac { (50r-10)\cdot 1 } { (\sqrt{(50r-90)^2+(-50r+10)^2+(50r-10)^2}) \: \cdot \: (\sqrt{1^2}) } $

$ \large \iff $ $ \large \frac { 50r-10 } { (\sqrt{(50r-90)^2+(-50r+10)^2+(50r-10)^2}) \: \cdot \: 1 } = \frac{\sqrt{83}}{83} $

$ \large \iff $ $ 83\cdot (50r-10)=\sqrt{83}\cdot (\sqrt{(50r-90)^2+(-50r+10)^2+(50r-10)^2}) \: \cdot \: (1) $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: nach\: r $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ 8000r\cdot (25r-9)=0\: \longrightarrow\: \begin{cases} r=0\\r=\frac{9}{25}=0,36 \end{cases} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ Q= \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} + 0,36 \cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -82\\82\\18 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \iff\: $ Im Punkt $Q \begin{pmatrix} -82\\82\\18 \end{pmatrix} $ endet die Rampe.

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize In\: welchem\: Punkt\: erreicht\: die\: Rampe\: die\: Höhe\: von\: 15m? $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\: $ Setzte:

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} -82\\82\\18 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\15 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow\: x=-55\:\: |\:\: y=85\:\: |\:\: r=0,625 $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow $ Im Punkt $ \begin{pmatrix} -55\\85\\15 \end{pmatrix} $ erreicht die Rampe die Höhe von $15m.$


$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize In\: welchen\: Punkte\: durchstoßen\: die\: Pyramidenkanten\: eine\: Höhe\: von\: 20m? $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Stelle die Geradengleichung für $AS$:

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $AS:\vec{x}=$ $ \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\20 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \iff $ $ \begin{cases} -50r=x\\ 50r=y\\ 50r=20 \qquad |\: r=\frac{2}{5}=0,4 \:\:|\:\: -50\cdot \frac{2}{5}=-20=x \:\:|\:\: 50\cdot \frac{2}{5}=20=y \end{cases} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow AS = \begin{pmatrix} -20\\20\\20 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Stelle die Geradengleichung für $BS$:

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $AS:\vec{x}=$ $ \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\20 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \iff $ $ \begin{cases} -50s &=x\\ 100-50s &=y\\ 50s &=20 \end{cases} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\qquad $ $ \qquad |\: s=\frac{2}{5}=0,4 \:\:|\:\: -50\cdot \frac{2}{5}=-20=x \:\:|\:\: 100-50\cdot \frac{2}{5}=20=y $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow BS = \begin{pmatrix} -20\\80\\20 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Stelle die Geradengleichung für $CS$ und $DS$: Gleiches Verfahren

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow CS = \begin{pmatrix} -80\\80\\20 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ und $ \:\:\: $ $ DS= \begin{pmatrix} -80\\20\\20 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize In\: welcher\: Höhe\: beträgt\: der\: horizontale\: Querschnitt\: der\: Pyramide\: 25m²? $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Da $A=a\cdot a=25m^2 \longrightarrow$ Grundseitenlänge $a=5m$

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\qquad $ Mit dem Strahlensatz: $\frac{h_1}{5}=\frac{50}{100} \longrightarrow h_1=2,5m$

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\qquad $ Also, $50m-2,5m=47,5m$

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \longrightarrow$ In Höher $47,5m$ beträgt der horizontale Querschnitt der Pyramide $25m². $


$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Vom Punkt $T \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} $ fällt Licht in Richtung $ \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} .$

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize \textcolor{red}{e)} \: Zeige,\: dass\: vom\: Punkt\: T\: je\: ein\: Lichtstrahl\: auf\: die\: Punkte\: B\: und\: S\: fällt. $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Prüfe ob $B$ auf $T$ liegt:

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte: $ \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: in\: Lineares\: Gleichungssystem\: um\: (LGS) $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \begin{cases} 0 &= 50-r-ar \qquad\:\:\:\:\:\:\: (I)\\ 100 &= -50+3r-ar \qquad (II)\\ 0 &= 100-2r+ar \qquad (III) \end{cases} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $(I)+(III): 0=150-3r \: \longrightarrow r=50$

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r=50$ in (II) ein

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: 100=-50+3(50)-a(50) $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: 0=-50a \:\: \longrightarrow a=0 $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r$ und $a$ in $ \: \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + 50\cdot \begin{pmatrix} -1-0\\3-0\\0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Für $r=50$ und $a=0$ liegt $B$ auf $T.$


$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Prüfe ob $S$ auf $T$ liegt:

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte: $ \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: in\: Lineares\: Gleichungssystem\: um\: (LGS) $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \begin{cases} -50 &= 50-r-ar \qquad\:\:\:\:\:\:\: (I)\\ 50 &= -50+3r-ar \qquad (II)\\ 50 &= 100-2r+ar \qquad (III) \end{cases} $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $(I)-(II): -200=-4r \: \longrightarrow r=50$

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r=50$ in (III) ein

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: -50=-2(50)-50a $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: 50=-50a \:\: \longrightarrow a=-1 $

$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r$ und $a$ in $ \: \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + 50\cdot \begin{pmatrix} -1+1\\3+1\\-1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\150\\-50 \end{pmatrix} $

Winkel und Abstände II

II- Abstände – Lotfußpunktverfahren




Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden $g$ ist gleich dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{PF}$, wobei $F$ der Fußpunkt des Lotes von $P$ auf $g$ ist.




Berechnung

Die Berechnung des Abstandes erfolgt in drei Schritten:

  1. Aufstellen der Gleichung einer Hilfsebene $E,$ die durch $P$ geht und zu $g$ orthogonal ist,

  2. Berechnung des Schnittpunktes $F$ von $E$ und $g,$

  3. Berechnung des Betrages von $\overrightarrow{PF}.$

Beispielaufgaben

Berechne jeweils den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g.$

  1. $ P\begin{pmatrix}-2\\2\\1 \end{pmatrix}, \:\: g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\3\\-1 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} $

    Lösung
    $ P\begin{pmatrix}-2\\2\\1 \end{pmatrix}, \:\: g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\3\\-1 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize F\: liegt\: auf\: der\: Geraden\: g,\: vektoriell\: ausgedrückt: $

    $ \:\:\:\:\:\: $ $\overrightarrow{OF}$ $=$ $ \begin{pmatrix} 1 &+ &0 \cdot r\\ 3 &+ &2 \cdot r\\ -1 &+ &1 \cdot r \end{pmatrix} $

    $ \qquad $ und den Vektor von $F$ nach $P:$

    $ \:\:\:\:\:\: $ $\overrightarrow{FP}=P-F$ $=$ $ \begin{pmatrix} -2 &- &(1+0\cdot r)\\ 2 &- &(3+2\cdot r)\\ 1 &- &((-1)+1\cdot r) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: Richtungsvektor\: von\: g\: orthogonal\: zum\: Vektor\: \overrightarrow{FP}: $
    $ \:\:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow g \perp \overrightarrow{FP} \: \iff \: \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} =0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: das\: Skakarprodukt $

    $ \:\:\:\:\:\: $ $ \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} =0 $

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\: \iff $ $ 0\cdot (-3)+2\cdot (-1-2r)+1\cdot(2-r)=0 $

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\: \iff $ $ -5r=0\:\: \longrightarrow\:\: r=0\:\: (Geradenparameter) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: \overrightarrow{OF}\: ein $

    $ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} 1 &+ &0\cdot 0\\ 3 &+ &2\cdot 0\\ -1 &+ &1\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \:\: (Lotfußpunkt\: F) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: \overrightarrow{FP}\: ein $

    $ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} -3\\ -1-2\cdot 0\\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \:\: (Vektor\: FP) $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: von\: g\: zu\: P $

    $ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ d(g,P)=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+2^2}\approx3,74165 $


    Der Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large |\overrightarrow{PF}|\approx3,42\: LE $



  2. $ P\begin{pmatrix} 3\\5\\2 \end{pmatrix}, \:\: g:\vec{x} = \begin{pmatrix} -2\\-3\\4 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix} $

    $\:\:$
    $|\overrightarrow{PF}|\approx9,30\: LE$



  3. $ P\begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix}, \:\: g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 2\\4\\2 \end{pmatrix} $

    $\:\:$
    $|\overrightarrow{PF}|\approx4,45\: LE$




$\:\:\:$Unter dem Abstand $d$ eines Punktes P von einer Ebene $E$ versteht man die Länge des Lotes
$\:\:\:$von $P$ auf die Ebene, also die Länge der Strecke von $P$ bis zum Fußpunkt $F$ des Lotes.




Berechnung

Die Berechnung des Abstandes erfolgt in drei Schritten:

  1. Aufstellen der zu $E$ orthogonalen Lotgerade $g$ durch $P,$

  2. Berechnung des Schnittpunktes $F$ von $g$ und $E,$

  3. Berechnung des Betrags des Vektor $\overrightarrow{PF}.$


  4. Tipp

Beispielaufgaben

  1. Bestimme den Abstand des Punktes $P\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ von der Ebene $E:3x-2y+2z=3.$

    Lösung

    $ P \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E: 3x-2y+2z=3 $ $ \longrightarrow n_E \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $

    $ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene \: E $

    $ \qquad $ $ 3(2+3t)-2(4-2t)+2(1+2t)=3 $

    $ \qquad $ $ \iff 6+9t-8+4t+2+4t=3 $

    $ \qquad $ $ \iff 17t=3 \longrightarrow t=\frac{3}{17} \approx0,1765 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $

    $ \vec{f} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} + 0,1765\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0,1765 \cdot 3\\ 4+0,1765 \cdot (-2)\\ 1+0,1765 \cdot 2 \end{pmatrix} $ $ \longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 2,529\\ 3,647\\ 1,352 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\:$ $\overrightarrow{PF}$

    $ \overrightarrow{PF} = \vec{f}- \vec{P} = \begin{pmatrix} 2,529-2\\ 3,647-4\\ 1,353-1 \end{pmatrix} \longrightarrow \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 0.529\\ -1,647\\ 0,353 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand $

    $ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{(2,529-2)^2+(3,647-4)^2+(1,353-1)^2}=0,7273 $


    Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d \approx0.73 \: LE $


  2. Gesucht ist der Abstand des Punktes $P \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} $ von der Ebene $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} =0. $

    Lösung

    $P \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} $ $\:$ und $\:$ $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} =0 $

    $\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Wandle\: die\: Normalenform\: von\: E\: in\: Koordinatenform\: um $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = 2x+3y+4z $

    $\qquad$ $ \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = 2\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot 4=12 $

    $\qquad\qquad$ $ \longrightarrow E:2x+3y+4z=12 \:\:\:\: und \:\:\:\: n_E=\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} $

    $\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $

    $\qquad$ $ h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} $

    $\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene \: E $

    $\qquad\qquad$ $ 2(5+2t)+3(8+3t)+4(9+4t)=12 $

    $\qquad\qquad$ $ \iff 10+4t+24+9t+36+16t=12 $

    $\qquad\qquad$ $ \iff 29t+70=12 \qquad |\: -70 $

    $\qquad\qquad$ $ \iff 29t=-58 \qquad\:\:\:\:\:\:\: |\: :29 \:\:\:\: \longrightarrow \:\:\:\: t=-2 $

    $\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $

    $\qquad$ $ \vec{f}= \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-4\\8-6\\9-8 \end{pmatrix} $ $ \longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} $

    $\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\: \overrightarrow{PF} $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{PF} = \vec{f}- \vec{P} = \begin{pmatrix} 1-5\\2-8\\1-9 \end{pmatrix} $ $\:\:\:\:$ $\longrightarrow$ $\:\:\:\:$ $ \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} -4\\-6\\-8 \end{pmatrix} $

    $\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{(-4)^2+(-6)^2+(-8)^2}=10,770 $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d \approx10.77 \: LE $



  3. Berechne den Abstand des Punktes $P(10|-1|-4)$ von der Ebene
    $E:2x-8y+16z=45$

    $\:\:$
    $F(10,5|-3|0)$ $d=|\overrightarrow{PF}|=4,5\: LE$



  4. Gegeben ist die Ebene $E$ durch die Punkte $A(2|4|3),$ $B(-1|5|3)$ und $C(3|2|3).$ Berechne den Abstand des Punktes $P(6|8|7).$

    Lösung
    $A(2|4|3),$ $\:\:B(-1|5|3)\:\:$ und $\:\:C(3|2|3)$ $\:\:\:\:|\:\:\:\:$ $P(6|8|7)$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Parameterform $

    $ \qquad $ $ E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\1\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: die\: Koordinatenform\: von\: E $

    $ \qquad $ Richtungsvektor: $ \vec{a}= \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} $

    $ \qquad $ Normalenvektor:
    $ \qquad $ Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

    $ \qquad $ $ \vec{n}= \begin{pmatrix} -3\\1\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 &- &0\cdot (-2)\\ 0\cdot 1 &- &0\cdot (-3)\\ (-3)\cdot (-2) &- &1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} $

    $ \qquad $ Die Normalenform lautet: $ E: \begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =0 $

    $ \qquad $ Wandle in Koordinatenform um: Multipliziere aus

    $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =0x+0y+5z $

    $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =15 $

    $ \qquad $ Die Koordinatenform lautet: $0x+0y+5z=15$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $

    $ \qquad $ $ h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6\\8\\7 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene\: E $

    $ \qquad \qquad $ $ 5(7+5t)=15 \qquad\:\:\:\:| :5 $

    $ \qquad \qquad $ $ \iff 7+5t=3 \qquad | -7 $

    $ \qquad \qquad $ $ \iff 5t=-4 \:\:\longrightarrow\:\: t=-\frac{4}{5} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $

    $\qquad$ $ \vec{f} = \begin{pmatrix} 6\\8\\7 \end{pmatrix} + (-\frac{4}{5}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+0\\8+0\\7+(-\frac{4}{5}\cdot 5) \end{pmatrix} $ $\longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 6\\8\\3 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\:$ $\overrightarrow{PF} $

    $\qquad$ $ \overrightarrow{PF} = \vec{f}-\vec{P} = \begin{pmatrix} 6-6\\8-8\\3-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\-4 \end{pmatrix} \: \longrightarrow \: \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 0\\0\\-4 \end{pmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand\: d $

    $\qquad$ $ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{0^2+0^2+(-4)^2}=4 $


    $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large d=4\: LE $


Lagebeziehungen|Geraden| Bergwerksstollen

Lagebeziehungen|Geraden| Bergwerksstollen


Forming Negative and Interrogative Phrases

Forming Negative and Interrogative Phrases




There are two ways (two big categories) of forming negative or interrogative sentences:

  1. First category: we use the auxiliary do in $99.9\%$ of verbs cases, in any other form possible: don’t / doesn’t / did / didn’t.

    Examples:

    $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ She likes chocolate.

    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ She doesn’t like chocolate.

    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Does she like chocolate?


  2. Second category: we use have or be or modal verbs in the remaining percentage, $0.1\%$, or you might call it the exception case.

  3. Examples:

    $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ She has eaten chocolate.
    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ She hasn’t eaten chocolate.
    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Has she eaten chocolate?

    $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ She is angry.
    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ She isn’t angry.
    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Is she angry?

    $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ She will eat chocolate.
    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ She will not (won’t) eat chocolate.
    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Will she eat chocolate?



Important:


To better understand this topic, you need to work per elimination, meaning that you need to learn the exception cases, so that every time one of those exceptions occur in a sentences of yours, you know how to handle it, otherwise you should use do.


Case Percentage Use Explanation
Exceptions (verbs) 0.001% be
– as main verb
– as auxiliary

have as auxiliary

Modal verbs:
– will / would
– can / could
– shall / should
– may / might
– must
use the same
– main verb
– auxiliary and
– modal verbs
to form negation and interrogation
All verbs 99.99% do use exclusively do
to form negation and question


Examples


Exceptions


  1. be as main verb:

  2. $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ She is at home.

    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ She isn’t at home.

    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Is she at home?

    Observation: When we use be as the main verb, we reuse it to form both negation and question.


  3. be as auxiliary:

  4. $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ She is eating bread at home.

    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ She isn’t eating bread at home.

    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Is she eating bread at home?

    Observation: When we use be as auxiliary, we reuse it to form both negation and question.


  5. have as auxiliary:

  6. $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ She has eaten bread at home.

    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ She hasn’t eaten bread at home.

    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Has she eaten bread at home?

    Observation: When we use have as auxiliary, we reuse it to form both negation and question.


  7. Modal verbs:

  8. $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ She will eat bread at home.

    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ She will not (won’t) eat bread at home.

    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Will she eat bread at home?

    Observation: When we use a modal verb, we reuse it to form both negation and question.

    Modal verbs are:
    $\qquad$ $ will \longrightarrow would $
    $\qquad$ $ can \longrightarrow could $
    $\qquad$ $ shall \longrightarrow should $
    $\qquad$ $ may \longrightarrow might $
    $\qquad$ $ must $

All verbs


The majority of verbs in English form their negation and interrogation with the auxiliary do.

Examples:

  • $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ She goes home.

    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ She doesn’t go home.

    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Does she go home?


  • $\qquad$ Affirmative $\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ They work hard.

    $\qquad$ Negative: $\qquad\qquad$ They don’t work hard.

    $\qquad$ Interrogative: $\qquad\:$ Do they work hard?


N.B.: This is often the case if the sentence concerned does not include:

  • neither the verb be as the main verb

  • nor the verb be as an auxiliary verb

  • nor the verb have as an auxiliary verb

  • even less a modal verb.


Exercises


Winkel und Abstände I

I- Winkel



  1. Winkel zwischen zwei Geraden $g_1$ und $g_2$


  2. Schneiden sich zwei Geraden $g:\vec{x}=\vec{p}+r\cdot \vec{u}$ und $h:\vec{x}=\vec{q+s\cdot\vec{v}}$, dann gilt für ihren Schnittwinkel $\alpha$:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ cos\: \alpha = \large \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} $.

    Dabei ist der Schnittwinkel immer der kleinere der beiden Scheitelwinkel, die entstehen, wenn zwei Geraden sich schneiden.

    Skizze



    Beispielaufgaben

    Berechne Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden

    $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \end{pmatrix} . $


    Lösung
    $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \end{pmatrix} $

    Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Also, entweder schneiden sie sich oder sie sind windschief.


    Vektorgleichung (Einsatz $g=h$):

    $ \Longleftrightarrow $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \end{pmatrix} $

    Verwandle in Gleichungssystem:

    $ \Longleftrightarrow $ $ \begin{cases} 0+1\cdot r &=\:\:1+3\cdot s \\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \\ 3+(-1)\cdot r &=\:\:2+(-5)\cdot s \\ \end{cases} $ $ \Longrightarrow $ $ \begin{cases} r &=\:\:1+3\cdot s \qquad\:\:\: (I)\\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \qquad\:\:\: (II)\\ 3-1\cdot r &=\:\:2-5\cdot s \qquad \:\:\: (III) \end{cases} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (I)\: in\: (II)\: oder\: (III)\: ein $

    $ \qquad $ $In\: (II)$ $\Longrightarrow$ $1+2(1+3s)=3+2s$

    $ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longleftrightarrow$ $3+6s=3+2s$ $\qquad | -3/+2s$

    $ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $s=0$

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: s\: in\: (I)\: ein $

    $ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longrightarrow$ $r=1+3(0)$

    $ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $r=1$

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: r=1\: und\: s=0\: in\: Geraden\: g\: oder\: h\: ein $

    $ \qquad $ $In\: g:$

    $ \qquad $ $ \Large s= $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \\ \end{pmatrix} +(1)\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 0+1\\1+2\\3-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $


    Schnittpunkt:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large s \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $


    Schnittwinkel:
    Benutze die Richtungsvektoren beiden Geraden:

    $ \qquad $ Berechne das Skalarprodukt der Richtungsvektoren:

    $ \qquad\qquad \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ 1\cdot 3+2\cdot 2-1\cdot (-5) $ $ \Large = $ $12$

    $ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} $ $ \Large = $ $2,449$

    $ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{3^2+2^2+(-5)^2} $ $ \Large = $ $6,164$

    $ \qquad $ Also der Winkel ist gleich:

    $ \qquad\qquad $ $ \alpha = cos^{-1} (\frac{12}{2,449\: \cdot \:6,164}) $ $ \Large = $ $37,371^{\circ}$


    Schnittwinkel:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \alpha=37,371^{\circ} $



  3. Winkel zwischen eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$


  4. $\:\:$Schneiden sich eine Gerade $g:\vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{u}$ und eine Ebene $E:\vec{n}\cdot[\vec{x}-\vec{a}]$, dann gilt für
    $\:\:$ihren Schnittwinkel $\alpha$ zwischen dem Richtungsvektor der Gerade und dem Normalenvektor $\:\:$der Ebene:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ cos\: \alpha = \large \frac{|\vec{r}\cdot\vec{n}|}{|\vec{r}|\cdot|\vec{n}|} $.

    $\:\:$Ist $\vec{s}$ ein Richtungsvektor der Schnittgeraden zwischen der Ebene E und der zu E
    $\:\:$senkrechten Ebene F, in der $g$ liegt, dann gilt für den Winkel $\beta$ zwischen $\vec{r}$ und $\vec{s}:$ $\:\:\beta=90{^\circ}-\alpha.$ Es gilt also

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ sin\: \beta = \large \frac{|\vec{r}\cdot\vec{n}|}{|\vec{r}|\cdot|\vec{n}|} $.



    Beispielaufgabe

    Berechne den Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E.$

    $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\6\\-5 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E: \begin{bmatrix}\vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $


    Lösung
    $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\6\\-5 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E: \begin{bmatrix}\vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $

    Bestimme die Koordinatenform von $E$:

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: E\: aus $

    $ \:\:\: $ $ E: \begin{bmatrix}\vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} =0 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Skalarprodukt\: berechnen $

    $ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ 2x-2y+3z $ $\qquad | \qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = 2\cdot2+9\cdot (-2)+3\cdot 3=-5 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: beiden\:Ergebnisse\: in\: die\: ausmultiplizierte\: Normalenform\: ein $

    $ \:\:\:\:\:\: $ $ \longrightarrow $ die Koordinatenform: $E:2x-2y+3z=-5$

    $ \qquad\:\:\:\:\:\: $ und den Normalenvektor: $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: Skalarprodukt\: von\: Normalenvektor\: (E)\: und\: Richtungsvektor\: (g) $

    $ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = -1\cdot 2+4\cdot (-2)+3\cdot 3=-1 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Betrag\: von\:(E)\: und\: (g) $

    $ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{(-1)^2+4^2+3^2}=5,09 $

    $ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2}=4,12 $

    $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel $

    $ \:\:\:\:\: $ $ \alpha=sin^{-1} \frac{|-1|}{5,09\: \cdot \:4,12}=2,73^{\circ} $

    Der Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E$ lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \alpha=2,73^{\circ} $



  5. Winkel zwischen zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$


  6. $\:\:\:$Schneiden sich zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$, mit den Normalenvektor $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$,
    $\:\:$dan gilt für den Schnittwinkel $\alpha$:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ cos\: \alpha = \large \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|} $.



    Beispielaufgabe

    Berechne den Schnittwinkel zwischen $E_1$ und $E_2$.

    $\qquad$ $E_1: 3x+2y-z=1 \:\:\:\:$ und $\:\:\:\: E_2: -2x+2y+5=-1$

    Lösung
    $\qquad$ $E_1: 3x+2y-z=1 \:\:\:\:$ und $\:\:\:\: E_2: -2x+2y+5=-1$

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: Normalenvektoren\: von\: E_1\: und\: E_2 $

    $ \qquad $ $ \vec{n_1}= \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $\:\:\:\:$ und $\:\:\:\:$ $ \vec{n_2}= \begin{pmatrix} -2\\2\\5 \end{pmatrix} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: das\: Skalarprodukt\: der\: \:beiden\: Normalenvektoren $

    $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\2\\5 \end{pmatrix} =3\cdot (-2)+2\cdot 2+ (-1)\cdot 5=-7 $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Betrag\: von\: \vec{n_1} \: und\: \vec{n_2} $

    $ \qquad $ Betrag von $\vec{n_1}$ ist gleich: $|\vec{n_1}|=\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}=3,741$

    $ \qquad $ Betrag von $\vec{n_2}$ ist gleich: $|\vec{n_2}|=\sqrt{(-2)^2+2^2+5^2}=5,744$

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel\: \alpha $

    $ \qquad $ $ \alpha=cos^{-1}\frac{|-7|}{3.741\: \cdot \: 5,744}=70,988^{\circ} $


    $ \qquad $ Schnittwinkel:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \alpha\approx 70,99^{\circ} $


Übungsaufgaben – Winkel

Berechne Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden

  1. $g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\3\\1 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:\:$ und $\:\:\:$ $h: \vec{x}= \begin{pmatrix} -3\\-4\\-1 \end{pmatrix}+ s\cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} $

    Lösung
    $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4\\3\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} -3\\-4\\-1 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} $

    Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Also, entweder schneiden sie sich oder sie sind windschief.


    Vektorgleichung (Einsatz $g=h$):

    $ \Longleftrightarrow $ $ \begin{pmatrix} 4\\3\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} -3\\-4\\-1 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} $

    Verwandle in Gleichungssystem:

    $ \Longleftrightarrow $ $ \begin{cases} 4+(-1)\cdot r &=\:\:(-3)+2\cdot s \\ 3+(-1)\cdot r &=\:\:(-4)+2\cdot s \\ 1+1\cdot r &=\:\:(-1)+1\cdot s \\ \end{cases} $ $ \Longrightarrow $ $ \begin{cases} 4-r &=\:\:-3+2\cdot s \qquad\:\:\: (I)\\ 3-r &=\:\:-4+2\cdot s \qquad\:\:\: (II)\\ 1+r &=\:\:-1+1\cdot s \qquad \:\:\: (III) \end{cases} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Addiere\: (II)\: und\: (III) $

    $ \qquad $ $\Longrightarrow$ $4=-5+3s$ $\qquad | +5/(:3)$

    $ \qquad\qquad $ $\longrightarrow$ $s=3$

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: s\: in\: (I)\: ein $

    $ \qquad $ $\Longrightarrow$ $4-r=-3+2\cdot3$

    $ \qquad $ $\Longrightarrow$ $4-r=3$ $\qquad | -4/:(-1)$

    $ \qquad\qquad $ $\longrightarrow$ $r=1$

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: r=1\: und\: s=3\: in\: Geraden\: g\: oder\: h\: ein $

    $ \qquad $ $In\: h:$

    $ \qquad $ $ \Large s= $ $ \begin{pmatrix} -3\\-4\\-1 \\ \end{pmatrix} +(3)\cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} -3+6\\-4+6\\-1+3 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 3\\2\\2 \\ \end{pmatrix} $


    Schnittpunkt:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large s \begin{pmatrix} 3\\2\\2 \\ \end{pmatrix} $


    Schnittwinkel:
    Benutze die Richtungsvektoren beiden Geraden:

    $ \qquad $ Berechne das Skalarprodukt der Richtungsvektoren:

    $ \qquad\qquad \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ -1\cdot 2+(-1)\cdot 2+1\cdot 1 $ $ \Large = $ $-3$

    $ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2} $ $ \Large = $ $1,732$

    $ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 2\\2\\1 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{2^2+2^2+1^2} $ $ \Large = $ $3$

    $ \qquad $ Also der Winkel ist gleich:

    $ \qquad\qquad $ $ \alpha = cos^{-1} (\frac{-3}{1,732\: \cdot \:3}) $ $ \Large = $ $125,264^{\circ}$


    Schnittwinkel:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \alpha=125,264^{\circ} $



  2. $g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 3\\2\\0 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\4 \end{pmatrix} $ $\:\:\:$ und $\:\:\:$ $h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}+ s\cdot \begin{pmatrix} -2\\1\\4 \end{pmatrix} $

    $\:\:$
    $s\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix};$ $\alpha=17,753^{\circ}$



  3. $g: \vec{x}= \begin{pmatrix} -1\\-2\\6 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $\:\:\:$ und $\:\:\:$ $h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\3\\11 \end{pmatrix}+ s\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix} $

    $\:\:$
    $s\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix};$ $\alpha=90^{\circ}$



Berechne den Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E$.

  1. $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} $

    Lösung
    $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Gleiche\: die\: Vektoren:\: Einsatz\: (g=E) $

    $ \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: als\: Lineares\: Gleichungssystem\: (LGS) $

    $ \qquad $ $ \begin{cases} 2+r &=1+2s-t\\ 2-r &=1+0s-t\\ 1+r &=5+s+3t \end{cases} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bringe\: Zahlen\: nach\: rechts\: und\: Variablen\: nach\: links $

    $ \qquad $ $ \begin{cases} r-2s+t &=-1 \qquad (I)\\ -r+t &=-1 \qquad (II)\\ r-s-3t &=4 \qquad\:\:\: (III) \end{cases} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: (II)\: nach\: r $

    $ \qquad $ $ \begin{cases} r-2s+t &=-1\\ r &=1+t\\ r-s-3t &=4 \end{cases} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: (I)\: und\: (III) $

    $ \qquad $ $ \begin{cases} 1+t-2s+t &=-1\\ 1+t-s-3t &=4 \end{cases} $ $\:\:$ $\Longrightarrow$ $\:\:$ $ \begin{cases} 2t-2s &=-2\\ -2t-s &=3 \end{cases} $
    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Addiere\: (I)\: und\: (III) $
    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ -3s=1 \qquad | :(-3) $

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $\longrightarrow$ $ s=-\frac{1}{3} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: s\: in\: (I)\: und\: (III) $

    $ \qquad $ $ \begin{cases} r-2\cdot (-\frac{1}{3})+t &=-1\\ r-1\cdot (-\frac{1}{3})-3t &=4 \end{cases} $ $\:\:$ $\underrightarrow{Fasse\: zusammen}$ $\:\:$ $ \begin{cases} r+t &=-\frac{5}{3}\\ r-3t &=\frac{11}{3} \end{cases} $

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Subtrahiere $

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ 4t=-\frac{16}{3} \qquad | :(-\frac{16}{3}) $

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ \longrightarrow $ $ t=-\frac{4}{3} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: t\: in\: r=1+t\: ein $

    $ \qquad\:\: $ $ r=1-\frac{4}{3} $ $ \longrightarrow $ $ r=-\frac{1}{3} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Werte\: in\: Ebene\: ein $

    $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} +(-\frac{1}{3})\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} +(-\frac{4}{3})\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\\ 1+0+\frac{4}{3}\\ 5-\frac{1}{3}-4 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{7}{3}\\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} $


    $ \qquad $ Schnittpunkt:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \Large s \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{7}{3}\\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} $


    $ \qquad $ Schnittwinkel:

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform $

    $ \qquad\qquad $ – Bestimme die Normalenform von $E:$

    $ \qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: das\: Kreuzprodukt\: der\: Richtungsvektoren $

    $ \qquad\qquad\qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 0\cdot 3-1\cdot (-1)\\ 1\cdot (-1)-2\cdot 3\\ 2\cdot (-1)-0\cdot (-1) \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} $

    $ \qquad\qquad\qquad $ $\longrightarrow$ Normalengleichung: $ E:\begin{bmatrix} x- \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} =0 $

    $ \qquad\qquad $ – Bestimme die Koordinatenform von $E:$

    $ \qquad\qquad\qquad $ $ E:\begin{bmatrix} x- \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} =0 $

    $ \qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

    $ \qquad\qquad\qquad $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} = x-7y-2z $

    $ \qquad\qquad\qquad $ $ \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} = 1\cdot1+1\cdot (-7)+5\cdot (-2)=-16 $

    $ \qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: beiden\: Ergebnisse\: in\: die\: Normaleform\: ein $

    $ \qquad\qquad\qquad $ $\longrightarrow$ Koordinatenform: $E:x-7y-2z=-16$

    $ \qquad\qquad\qquad $ $\longrightarrow$ Normalenvektor: $ \vec{n}= \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: das\: Skalarprodukt\: von\: Normalenvektor(E)\: und\: Richtungsvektor(g) $

    $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} = 1\cdot 1+(-1)\cdot (-7)+1\cdot (-2)=6 $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: Betrag\: von\: (E)\: und\: (g) $

    $ \qquad\qquad $ Betrag von $ \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=1,732 $

    $ \qquad\qquad $ Betrag von $ \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{1^2+(-7)^2+(-2)^2}=7,348 $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel $

    $ \qquad $ $\longrightarrow$ $ \large \alpha=sin^{-1}=\frac{6}{1,732\: \cdot \: 7,348}=28,128^{\circ} $


    $ \qquad $ Schnittwinkel:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \alpha\approx28,13^{\circ} $



  2. $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\-3\\4 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 6\\2\\4 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 1\\0\\-5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\5\\-1 \end{pmatrix} $

    $\:\:$
    $\alpha\approx32,83^{\circ}$



  3. $ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\8\\8 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 3\\4\\3 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E:2x-4y+3z=5 $

    $\:\:$
    $\alpha\approx1,83^{\circ}$



Berechne den Schnittwinkel zwischen den Ebenen $E_1$ und $E_2$.

  1. $ E_1: \begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 4\\-3\\5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} =0 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E_2:-6x+4y-3z=4 $

    Lösung
    $ E_1: \begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 4\\-3\\5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} =0 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E_2:-6x+4y-3z=4 $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Für\: Normalenvektor\: von\: E_1\: Schreibe\: in\: der\: Koordinatenform $

    $ \qquad $ $ E_1: \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4\\-3\\5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} =0 $

    $ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

    $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} = 2x-4y+z $

    $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 4\\-3\\5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} = 4\cdot2+ (-3)\cdot(-4)+5\cdot 1=25 $

    $ \qquad $ Die Koordinatenform lautet: $E_1: 2x-4y+z=25$

    $ \qquad $ Den Normalenvektor von $E_1$ lautet: $n_1 = \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} $

    $ \qquad $ Den Normalenvektor von $E_2$ lautet: $n_2 = \begin{pmatrix} -6\\4\\-3 \end{pmatrix} $

    $ \qquad $ Schnittwinkel

    $ \qquad\qquad\qquad $ $ \alpha=cos^{-1} \frac { \large \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6\\4\\-3 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \large \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -6\\4\\-3 \end{pmatrix} \end{vmatrix} }= 29,987^{\circ} $

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \alpha\approx29,99^{\circ} $



  2. $ E_1:6x-2y-3z=7 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E_2:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\0\\-4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\-4\\2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 4\\-1\\5 \end{pmatrix} $

    $\:\:$
    $n_2$ $=$ $ \begin{pmatrix} 18\\-7\\13 \end{pmatrix}, $ $\:$ $\alpha\approx35,3^{\circ}$



  3. $ E_1:2x+y+2z=-8 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E_2:6x+3y+2z=-12 $

    $\:\:$
    $\alpha\approx25,20^{\circ}$



Lineares Gleichungssystem

Lineares Gleichungssystem




Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen) zusammen.

Jede Variable wird mit höchstens dem Exponenten 1 geschrieben.

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich lösen, mit mindestens so viele Gleichungen, wie es Unbekannte gibt.




Lineares Gleichungssystem lösen


Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen musst du alle Variablen so bestimmen, dass alle Gleichungen des Systems erfüllt werden.

Es gibt fünf verschiedene Verfahren, ein Gleichungssystem zu lösen:


  1. Das Additionsverfahren: durch Addition bzw. Subtraktion der Gleichungen wird eine der unbekannten $x$ oder $y$ isoliert (aufgehoben), um die Bestimmung der anderen zu ermöglichen.


  2. Das Einsetzungsverfahren: eine Gleichung wird nach einer Variablen $x$ oder $y$ umgeformt und in die andere Gleichung eingesetzt.


  3. Das Gleichsetzungsverfahren: die beiden linearen Gleichungen des linearen Gleichungssystems werden nach derselben Variablen $x$ oder $y$ aufgelöst und die entsprechenden Terme gleichgesetzt.


  4. Das Gaußverfahren oder gaußsche Eliminationsverfahren: wird benutzt um Gleichungen mit viele unterschiedliche Variablen zu lösen.


  5. Cramersche Regel oder Determinantenmethode: wird für kleines Gleichungssystem benutzt, die eindeutig lösbar sind.



Übungsaufgaben


  1. Löse mit dem Additionsverfahren:

    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 15x\:\: -2y\:\: &=\:\: 44 \\ \:\: 10x\:\: -3y\:\: &=\:\: 16 \end{align*} \end{cases} $
    Lösung
    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 15x\:\: -2y\:\: &=\:\: 44 \:\:(I) \\ \:\: 10x\:\: -3y\:\: &=\:\: 16 \:\:(II) \end{align*} \end{cases} $

    $ 3\cdot (I) + (-2)\cdot (II) \:\: \Rightarrow \:\: \begin{cases} &45x-6y=132 \\ -&20x+6y=-32 \\ \hline \end{cases} $
    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ 25x+0y=100 \:\:| :25 \\ $

    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \longrightarrow x=4 $

    Setze $x=4$ in $(I)$ ein

    $\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \Rightarrow \:\: 15(4)-2y=44 \:\:\:\:\:\:\: |\:(-60) $

    $\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \Rightarrow \qquad\:\:\:\:\: -2y=-16 \:\:\:\: |\:(-2) $

    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \longrightarrow y=8 $

    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(4|8)\} $

    Graphische Darstellung
    $\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=7,5x-22 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=3,3x-5,33 } $



    $ \begin{cases} \begin{align*} -4x\:\: +\:\: &3y \:\:=\:\: 6\\ 3x\:\: -\:\: &6y \:\:=\:\: 3 \end{align*} \end{cases} $
    Lösung
    $ \small \begin{cases} \begin{align*} -4x\:\: +\:\: &3y \:\:=\:\: 6 \:\: (I)\\ 3x\:\: -\:\: &6y \:\:=\:\: 3 \:\: (II) \end{align*} \end{cases} $

    $ \:\:\: \small 2\cdot (I) + (II) $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: (I)\: Mal\: 2\: und\: addiere\: mit\: (II). $

    $ \small \begin{cases} \begin{align*} -8x\:\: +\:\: &6y \:\:=\:\: 12 \:\: \\ 3x\:\: -\:\: &6y \:\:=\:\: 3 \:\:\\ \hline -5x\:\: +\:\: &\textcolor{red}{0y} \:\:=\:\: 15 \:\:(III) \end{align*} \end{cases} $

    $ \:\:\:\: \small (III):(-5) $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Teile\: (III)\: durch\: (-5). $

    $\qquad\qquad\qquad$ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=-3 $ $ \:\: \small (IV) $

    $ \:\:\:\: \small (IV) \:in\: (II) $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (IV)\: in\: (II)\: ein. $

    $ \qquad\qquad \small 3\cdot (-3)-6y=3 $

    $ \qquad\qquad\qquad \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Fasse\: zusammen\: und\: löse\: nach\: y\: auf. $

    $ \qquad\qquad \small -9-6y=3 \qquad | +9 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (Rechne\:Plus\: 9). $

    $ \qquad\qquad \small -6y=12 \qquad\:\:\:\:\:\:| :(-6) \:\:\:\:(Divide\: durch\: (-6)). $

    $\qquad\qquad\qquad$ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=-2 $


    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(-3|-2)\} $

    Graphische Darstellung
    $\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=\frac{4}{3}x+2 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} } $




  2. Löse mit dem Einsetzungsverfahren:

    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \end{align*} \end{cases} $
    Lösung
    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \:\: (I)\\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \:\: (II) \end{align*} \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: (II)\: nach\: x\: um: $

    $ 2x+3y=13 \qquad |-3y \:\:\:(Rechne\: Minus\: 3y) $

    $ 2x=13-3y \qquad |:2 \:\:\:(Dividiere\: durch\: 2) $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=6,5-1,5y $ $ \normalsize \:\:\: (III) $


    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (III)\: in\: (I)\: ein: $

    $ 3\cdot (6,5-1,5y)-4y=-6 $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Klammere\: auf\: und\: fasse\: zusammen\: nach\: y: $

    $ 3\cdot (6,5-1,5y)-4y=-6 \qquad\qquad\qquad |\:Klammer\: auflösen $

    $ 19,5-4,5y-4y=-6 \qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: |\:Zusammenfassen $

    $ 19,5-8,5y=-6 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\: |\: -19,5 $

    $ -8,5y=-25,5 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: | \: :(-8,5) $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=3 $ $ \normalsize \:\:\: (IV) $


    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (IV)\: in\: (III)\: ein: $

    $ x=6,5-1,5\cdot (3) $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=2 $


    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(2|3)\} $

    Graphische Darstellung
    $\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=0,75x+1,5 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=-0,\overline{6}x+4,\overline{3} } $




  3. $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: x\:\: +\: 5y\:\: &=\:\: -6 \\ \:\: 2x\:\: +\: 4y\:\: &=\:\: 0 \end{align*} \end{cases} $
    Lösung
    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: x\:\: +\: 5y\:\: &=\:\: -6 \:\: (I)\\ \:\: 2x\:\: +\: 4y\:\: &=\:\: 0 \:\:\: (II) \end{align*} \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: (I)\: nach\: x\: um: $

    $ x+5y=-6 \qquad |-5y \:\:\:(Rechne\: Minus\: -5y) $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=-6-5y $ $ \normalsize \:\:\: (III) $


    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (III)\: in\: (II)\: ein: $

    $ 2\cdot (-6-5y)+4y=0 $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Klammere\: auf\: und\: fasse\: zusammen\: nach\: y: $

    $ 2\cdot (-6-5y)+4y=0 \qquad\qquad\qquad |\:Klammer\: auflösen $

    $ -12-10y+4y=0 \qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: |\:Zusammenfassen $

    $ -12-6y=0 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\: |\: +12 $

    $ -6y=12 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: | \: :(-6) $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=-2 $ $ \normalsize \:\:\: (IV) $


    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (IV)\: in\: (III)\: ein: $

    $ x=-6-5\cdot (-2) $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=4 $


    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(4|-2)\} $

    Graphische Darstellung
    $\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=-0,2x-1,2 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=-0,5x } $


  4. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren:

    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: &2x\:\: +\: 2,5y = 4 \\ \:\: &2x\:\: +\: 2y \:\:\:\:= 2 \end{align*} \end{cases} $
    Lösung
    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: &2x\:\: +\: 2,5y = 4 \:\:\:\:\: (I)\\ \:\: &2x\:\: +\: 2y \:\:\:\:= 2 \:\:\:\:\: (II) \end{align*} \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: (I)\: und\: (II)\: nach\: 2x\: um: $

    $ \begin{cases} 2x+2,5y &=4 \qquad |-2,5y \\ 2x+2y &=2 \qquad |-2y \end{cases} $ $ \qquad \Rightarrow \qquad $ $ \begin{cases} 2x=4-2,5y \qquad (I’) \\ 2x=2-2y \qquad\:\:\: (II’) \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (I’)\: und\: (II’)\: gleich: $

    $ 2x=2x \:\: \leftrightarrow \:\: 4-2,5y=2-2y $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Fasse\: zusammen\: und\: stelle\: nach\: y\: um: $

    $ 4-2,5y=2-2y \qquad |\: +2,5y $

    $ 4=2+0,5y \qquad\qquad\: |\: -2 $

    $ 2=0,5y \qquad\qquad\qquad |\: \cdot2 $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=4 $ $ \normalsize \:\:\: (III) $


    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (III)\: in\: (I’)\: oder\: (II’)\: ein: $

    $ in\: (II’):\: 2x=2-2\cdot (4) $

    $ \qquad\qquad\: 2x=-6 \qquad \: | :2 $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=-3 $


    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(-3|4)\} $

    Graphische Darstellung
    $\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=-0,8x+1,6 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=-x+1 } $




    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \end{align*} \end{cases} $
    Lösung
    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \:\: (I)\\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \:\:\: (II) \end{align*} \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Form\: (I)\: und\: (II)\: gleich: $

    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \:\:\:\: |\: +4y \qquad\qquad (Rechne\: Plus\: 4y)\\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \:\:\:\:\: |\: -3y \qquad\qquad (Rechne\: Minus\: 3y) \end{align*} \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: nach\: x\: um: $

    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: &=\: -6\:\: +\:\: 4y \:\:\:\: |\: \cdot2 \qquad\qquad\:\:\:\: (Rechne\: Mal\: 2)\\ \:\: 2x\:\: &=\: 13\:\: -\:\: 3y \:\:\:\:\: |\: \cdot3 \qquad\qquad\:\:\:\: (Rechne\: Mal\: 3) \end{align*} \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Gleiche\: die\: Variablen\: x\: aus: $

    $ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 6x\:\: &=\: -12\:\: +\:\: 8y \\ \:\: 6x\:\: &=\: 39\:\: -\:\: 9y \end{align*} \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: die\: rechten\: Seiten\: gleich\: (6x=6x)\: und\: rechne\: nach\: y: $

    $ 6x=6x $
    $ \:\:\:\ \Leftrightarrow \:\:\:\: -12+8y=39-9y \qquad |\: +12\:/\: +9y\: (Rechne\: Plus\: 12\: und\: 9) $

    $ \:\:\:\ \Leftrightarrow \qquad\:\:\:\:\:\: 17y=51 \qquad\qquad\: |\: :17\: (Teile\: durch\: 17) $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=3 $


    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: y\: in\: (I)/(II)\: ein\: und\: rechne\: nach\: x: $

    $ \:\:\:\: 3x-4\cdot (3)=-6\qquad |\: +12 $

    $ \qquad\qquad\:\:\: 3x=6\qquad\:\:\: |\: :3 $

    $ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=2 $


    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(2|3)\} $

    Graphische Darstellung
    $\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=0,75x+1,5 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=-0,\overline{6}x+4,\overline{3} } $




  5. Löse mit dem Gaußverfahren:

    $ \begin{cases} 2x-3y=12 \\ 5x+2y=11 \end{cases} $
    Lösung
    $ \large \begin{cases} 2x-3y=12 \\ 5x+2y=11 \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: die\: Gleichungen\: in\: Matrixform um: $

    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} 2&-3&12\\ 5&2&11 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} l_1\\ l_2 \end{array} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large Teile\: (l_1)\: durch\: 2:\: \textcolor{red}{\frac{l_1}{2}} $

    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} \textcolor{red}{1} & -1,5 & 6\\ 5&2&11 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} \textcolor{red}{l’_1}\\ l_2 \end{array} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{5\cdot l’_1-l_2} $

    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} \textcolor{red}{1} & -1,5 & 6\\ 0& -9,5 &19 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} \textcolor{red}{l’_1}\\ \textcolor{red}{l’_2} \end{array} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{\frac{l’_2}{-9,5}} $

    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} \textcolor{red}{1} & -1,5 & 6\\ 0& \textcolor{red}{1} &-2 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} \textcolor{red}{l’_1}\\ \textcolor{red}{l^{”}_2} \end{array} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{1,5\cdot l^{”}_2+l’_1} $

    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} \textcolor{red}{1} & 0 & 3\\ 0& \textcolor{red}{1} &-2 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \LARGE \leftrightarrow $ $ \begin{cases} x=3\\ y=-2 \end{cases} $


    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(3|-2)\} $



    $ \begin{cases} 5x-2y+3z &=19 \\ 2x+2y-4z &=-6\\ -2x+3y+z &=-12 \end{cases} $
    Lösung

    $ \large \begin{cases} 5x-2y+3z &=19 \\ 2x+2y-4z &=-6\\ -2x+3y+z &=-12 \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large Bringe\: die\: Gleichungen\: in\: Matrixform: $

    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} 5&-2&3&19 \\ 2&2&-4&-6 \\ -2&3&1&-12 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} l_1 \\ l_2 \\ l_3 \end{array} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \Large \textcolor{red}{\frac{l_1}{5}} $ $\:\:$
    $l_1$ wird durch 5 dividiert


    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{\frac{-2}{5}} & \textcolor{red}{\frac{3}{5}} & \textcolor{red}{\frac{19}{5}} \\ 2&2&-4&-6 \\ -2&3&1&-12 \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_2-2\cdot l_1} $ $\:\:$
    Von $l_2$ wird subtrahiert 2⋅$l_1$


    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{14}{5}} & \textcolor{red}{\frac{-26}{5}} & \textcolor{red}{\frac{-68}{5}} \\ -2&3&1&-12 \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_3 – (-2\cdot l_1)} $ $\:\:$
    Von $l_3$ wird subtrahiert (-2⋅$l_1$)


    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \frac{14}{5} & \frac{-26}{5} & \frac{-68}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{11}{5}} & \textcolor{red}{\frac{11}{5}} & \textcolor{red}{\frac{-22}{5}} \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_2:\frac{14}{5}} $ $\:\:$
    $l_2$ wird dividiert durch $\frac{14}{5}$


    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{\frac{-13}{7}} & \textcolor{red}{\frac{-34}{7}} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{11}{5}} & \textcolor{red}{\frac{11}{5}} & \textcolor{red}{\frac{-22}{5}} \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_3 – (\frac{11}{5})\cdot l_2} $ $\:\:$
    Von $l_3$ wird subtrahiert $\frac{14}{5}\cdot l_2$


    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-13}{7} & \frac{-34}{7} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{44}{7}} & \textcolor{red}{\frac{44}{7}} \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_3:(\frac{44}{7})} $ $\:\:$
    $l_3$ wird dividiert durch $\frac{44}{7}$


    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-13}{7} & \frac{-34}{7} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{BurntOrange}{1} \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_2-(-\frac{13}{7})\cdot l_3} $ $\:\:$
    Von $l_2$ wird subtrahiert $(\frac{-13}{7})\cdot l_3$


    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{-3} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{BurntOrange}{1} \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_1-(\frac{3}{5})\cdot l_3} $ $\:\:$
    Von $l_1$ wird subtrahiert $(\frac{3}{5})\cdot l_3$


    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{\frac{-2}{5}} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{16}{5}} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{-3} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{BurntOrange}{1} \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_1-(-\frac{2}{5})\cdot l_2} $ $\:\:$
    Von $l_1$ wird subtrahiert $(-\frac{2}{5})\cdot l_2$


    $ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{black}{2} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{black}{-3} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{black}{1} \end{array} \end{bmatrix} $ $ \:\: \large \Longleftrightarrow \:\: \begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z=2 \\ 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z=-3 \\ 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z=1 \end{cases} $ $ \:\: \large \Rightarrow \:\: \begin{cases} x=2 \\ y=-3 \\ z=1 \end{cases} $

    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(2|-3|1)\} $




  6. Löse mit Cramersche Regel oder Determinantenmethode:

    $ \begin{cases} 5x-2y+3z &=19 \\ 2x+2y-4z &=-6\\ -2x+3y+z &=-12 \end{cases} $
    Lösung

    $ \normalsize \begin{cases} 5x-2y+3z &=19 \\ 2x+2y-4z &=-6\\ -2x+3y+z &=-12 \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bringe\: die\: Gleichungen\: in\: Matrixform: $

    $ \normalsize \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} 5&-2&3&19 \\ 2&2&-4&-6 \\ -2&3&1&-12 \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Determinante\: von\: A\: (det(A))/(Regel\: von\: Sarrus) $

    $ \normalsize det(A)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&-2&3 \\ 2&2&-4 \\ -2&3&1 \end{array} \end{vmatrix} $ $ \:\: $ $ \normalsize \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&-2&3 \\ 2&2&-4 \\ -2&3&1 \end{array} \end{vmatrix} $

    $\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ = 5\cdot2\cdot1+(-2)\cdot(-4)\cdot(-2)+3\cdot2\cdot3-(-2)\cdot2\cdot3-3\cdot(-4)\cdot5-1\cdot2\cdot(-2) $
    $\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =88 $

    $\:\:$

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: det(A_1),\: det(A_2),\: und\: det(A_3) $

    $ \normalsize det(A_1)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{red}{19} &-2&3 \\ \textcolor{red}{-6} &2&-4 \\ \textcolor{red}{-12} &3&1 \end{array} \end{vmatrix} $ $ \:\: $ $ \normalsize \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 19&-2&3 \\ -6&2&-4 \\ -12&3&1 \end{array} \end{vmatrix} $

    $\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =19\cdot2\cdot1+(-2)\cdot(-4)\cdot(-12)+3\cdot(-6)\cdot3-(-12)\cdot2\cdot3-3\cdot(-4)\cdot19-1\cdot(-6)\cdot(-2) $
    $\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =176 $

    $ \normalsize det(A_2)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5& \textcolor{red}{19} &3 \\ 2& \textcolor{red}{-6} &-4 \\ -2& \textcolor{red}{-12} &1 \end{array} \end{vmatrix} $ $ \:\: $ $ \normalsize \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&19&3 \\ 2&-6&-4 \\ -2&-12&1 \end{array} \end{vmatrix} $

    $\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ = 5\cdot(-6)\cdot1+19\cdot(-4)\cdot(-2)+3\cdot2\cdot(-12)-(-2)\cdot(-6)\cdot3-(-12)\cdot(-4)\cdot5-1\cdot2\cdot19 $
    $\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =-264 $

    $ \normalsize det(A_3)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&-2& \textcolor{red}{19} \\ 2&2& \textcolor{red}{-6} \\ -2&3& \textcolor{red}{-12} \end{array} \end{vmatrix} $ $ \:\: $ $ \normalsize \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&-2&19 \\ 2&2&-6 \\ -2&3&-12 \end{array} \end{vmatrix} $

    $\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ = 5\cdot2\cdot(-12)+(-2)\cdot(-6)\cdot(-2)+ 19\cdot2\cdot3-(-2)\cdot2\cdot19-3\cdot(-6)\cdot5-(-12)\cdot2\cdot(-2) $
    $\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =88 $


    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: die\: Lösung $

    $ \qquad \normalsize det(A)=88 $
    $ \qquad \normalsize det(A_1)=176 \qquad | \qquad det(A_2)=-264 \qquad | \qquad det(A_3)=88 $

    $ \qquad\qquad \Large x=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac{176}{88}=2 $

    $ \qquad\qquad \Large y=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{-264}{88}=-3 $

    $ \qquad\qquad \Large z=\frac{det(A_3)}{det(A)}=\frac{88}{88}=1 $

    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(2|-3|1)\} $




  7. $ \begin{cases} 2x+3y+4z &=1,4 \\ 3x-2y-z &=1,2\\ 5x+4y+3z &=1,4 \end{cases} $
    Lösung

    $ \normalsize \begin{cases} 2x+3y+4z &=1,4 \\ 3x-2y-z &=1,2\\ 5x+4y+3z &=1,4 \end{cases} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bringe\: die\: Gleichungen\: in\: Matrixform: $

    $ \normalsize \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} 2&3&4&1,4 \\ 3&-2&-1&1,2 \\ 5&4&3&1,4 \end{array} \end{bmatrix} $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Determinante\: von\: A\: (det(A))\: mit\: dem\: Cofaktor\: Methode $

    $ \normalsize det(A)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{DodgerBlue}{2} & \textcolor{OliveGreen}{3} & \textcolor{Orange}{4} \\ 3&-2&-1 \\ 5&4&3 \end{array} \end{vmatrix} $

    $ \qquad\:\:\:\: \normalsize = \textcolor{red}{+} \: \textcolor{DodgerBlue}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{DodgerBlue}{-2} & \textcolor{DodgerBlue}{-1} \\ \textcolor{DodgerBlue}{4} & \textcolor{DodgerBlue}{3} \end{array} \end{vmatrix} $ $ \: \normalsize \textcolor{red}{—} \: $ $ \normalsize \textcolor{OliveGreen}{3} \cdot \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{OliveGreen}{3}& \textcolor{OliveGreen}{-1} \\ \textcolor{OliveGreen}{5}& \textcolor{OliveGreen}{3} \end{array} \end{vmatrix} $ $ \: \normalsize \textcolor{red}{+} \: $ $ \normalsize \textcolor{Orange}{4} \cdot \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{Orange}{3}& \textcolor{Orange}{-2} \\ \textcolor{Orange}{5}& \textcolor{Orange}{4} \end{array} \end{vmatrix} $

    $ \qquad\:\:\:\: \normalsize = \textcolor{red}{+} \: \textcolor{DodgerBlue}{2}\cdot [\textcolor{DodgerBlue}{(-2)}\cdot \textcolor{DodgerBlue}{3} – \textcolor{DodgerBlue}{4}\cdot (\textcolor{DodgerBlue}{-1})] \textcolor{OliveGreen}{-} \textcolor{OliveGreen}{3}\cdot [\textcolor{OliveGreen}{3}\cdot \textcolor{OliveGreen}{3} – \textcolor{OliveGreen}{5}\cdot (\textcolor{OliveGreen}{-1})] \textcolor{Orange}{+} \textcolor{Orange}{4}\cdot [\textcolor{Orange}{3}\cdot \textcolor{Orange}{4} – \textcolor{Orange}{5}\cdot (\textcolor{Orange}{-2})] $

    $ \qquad\:\:\:\: \normalsize \textcolor{black}{=} 42 $

    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: det(A_1),\: det(A_2),\: und\: det(A_3) $

    $ \normalsize det(A_1)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{red}{1,4} &3&4 \\ \textcolor{red}{1,2} &-2&-1 \\ \textcolor{red}{1,4} &4&3 \end{array} \end{vmatrix} $

    $ \qquad \normalsize = \textcolor{red}{+}1,4 \cdot \begin{vmatrix} -2&-1\\ 4&3 \end{vmatrix} \textcolor{red}{-}3 \cdot \begin{vmatrix} 1,2&-1\\ 1,4&3 \end{vmatrix} \textcolor{red}{+}4 \cdot \begin{vmatrix} 1,2&-2\\ 1,4&4 \end{vmatrix} $

    $ \qquad \normalsize = 1,4\cdot [(-2)\cdot3 -4\cdot (-1)] – 3\cdot [1,2\cdot3 -1,4\cdot (-1)] + 4\cdot [1,2\cdot4 -1,4\cdot (-2)] $

    $ \qquad \normalsize =12,6 $

    $ \normalsize det(A_2)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 2&\textcolor{red}{1,4} &4 \\ 3&\textcolor{red}{1,2} &-1 \\ 5&\textcolor{red}{1,4} &3 \end{array} \end{vmatrix} $

    $ \qquad \normalsize = \textcolor{red}{+}2 \cdot \begin{vmatrix} 1,2&-1\\ 1,4&3 \end{vmatrix} \textcolor{red}{-}1,4 \cdot \begin{vmatrix} 3&-1\\ 5&3 \end{vmatrix} \textcolor{red}{+}4 \cdot \begin{vmatrix} 3&1,2\\ 5&1,4 \end{vmatrix} $

    $ \qquad \normalsize = 2\cdot [1,2\cdot3 -1,4\cdot (-1)] – 1,4\cdot [3\cdot3 -5\cdot (-1)] + 4\cdot [3\cdot1,4 -5\cdot 1,2] $

    $ \qquad \normalsize =-16,8 $

    $ \normalsize det(A_3)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 2&3&\textcolor{red}{1,4} \\ 3&-2&\textcolor{red}{1,2} \\ 5&4&\textcolor{red}{1,4} \end{array} \end{vmatrix} $

    $ \qquad \normalsize = \textcolor{red}{+}2 \cdot \begin{vmatrix} -2&1,2\\ 4&1,4 \end{vmatrix} \textcolor{red}{-}3 \cdot \begin{vmatrix} 3&1,2\\ 5&1,4 \end{vmatrix} \textcolor{red}{+}1,4 \cdot \begin{vmatrix} 3&-2\\ 5&4 \end{vmatrix} $

    $ \qquad \normalsize = 2\cdot [(-2)\cdot1,4 -4\cdot 1,2] – 3\cdot [3\cdot1,4 -5\cdot 1,2] + 1,4\cdot [3\cdot4 -5\cdot (-2)] $

    $ \qquad \normalsize =21 $


    $ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: die\: Lösung $

    $ \qquad \normalsize det(A)=42 $
    $ \qquad \normalsize det(A_1)=12,6 \qquad | \qquad det(A_2)=-16,8 \qquad | \qquad det(A_3)=21 $

    $ \qquad\qquad \large x=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac{12,6}{42}=0,3 $

    $ \qquad\qquad \large y=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{-16,8}{42}=-0,4 $

    $ \qquad\qquad \large z=\frac{det(A_3)}{det(A)}=\frac{21}{42}=0,5 $

    Die Lösungsmenge lautet:

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{\frac{3}{10}|-\frac{2}{5}|\frac{1}{2})\} $

Rekonstruktion von Funktionen

Rekonstruktion von Funktionen




Bei der Rekonstruktion von Funktionen musst du anhand von gegebenen Informationen eine ganzrationale Funktionsgleichung bestimmen. Dazu stellst du Gleichungen auf, löse sie zur Bestimmung der rekonstruierte Funktion.




Funktionen rekonstruieren Vorgehen


  1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung der gesuchten Funktionsart auf, und bestimme ihre Ableitungen.

    $ \normalsize \textcolor{black}{ f(x)=ax^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + … + a_1x^1 + a_0x^0\:\: (x^0=1) } $

    z.B.
    $ \normalsize \textcolor{black}{ \:\:\:f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e } $ $\:\:\: \rightarrow\:\:$ 4. Grades
    $ \normalsize \textcolor{black}{ \:\:\:f(x)=ax^3+bx^2+cx+d } $ $\qquad\:\:\:\:\:\: \rightarrow\:\:$ 3. Grades


  2. Übersetze die gegebenen Informationen (Nullstelle , Tangente , …) aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.

    z.B. Gegeben sei eine allgemeine quadratische Funktion $ \normalsize \textcolor{black}{ f(x)=ax^2+bx+c. } $
    Der Punkt P(1|2) liegt auf dem Graphen der Funktion f.

    $ \qquad \normalsize \textcolor{black}{ \Longrightarrow 2=a(1)^2+b(1)+c } $


  3. Stelle ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löse es.

  4. Bestimme deine rekonstruierte Funktion.




Beispielaufgabe: Rekonstruktion von Funktionen


Gesucht ist eine ganzrationale Funktion

  • 3. Grades

  • mit einem Extrempunkt bei (-1|2) und

  • Die Tangente bei x = 2 hat die Steigung m = 9.


Lösung



1. Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

– Bestimme die allgemeine Funktionsgleichung, um dir später Zeit zu sparen.

– Bilde die ersten beiden Ableitungen.


$ \qquad \large \textcolor{black}{ \begin{cases} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f”(x)=6ax+2b \end{cases} } $



2. Informationen in Mathe Gleichungen übersetzen


$\:\:\:\:$ I. Der Graph verläuft durch den Punkt $ \large (-1|2)\:\: \rightarrow f(-1)=2 $.

$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f(-1)=a\cdot(-1)^3+b\cdot(-1)^2+c\cdot(-1)+d=2 $

$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f(-1)=-a+b-c+d=2 $


$\:\:\:\:$ II. Der Graph hat ein Minimum im Punkt $ \large (-1|2)\:\: \rightarrow f'(-1)=0 $.

$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(-1)=3a\cdot (-1)^2+2b\cdot(-1)+c=0 $

$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(-1)=3a-2b+c=0 $


$\:\:\:\:$ III. Der Graph hat eine Wendestelle bei $ \large x=1\:\: \rightarrow f”(1)=0 $.

$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f”(1)=6a\cdot 1+2b=0 $

$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f”(1)=6a+2b=0 $


$\:\:\:\:$ IV. Die rekonstruierte Funktion hat eine Tangente bei $x=2$ mit der Steigung $m=9$ $ \qquad \large \:\: \rightarrow f'(2)=9 $.

$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(2)=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2+c=9 $

$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(2)=12a+4b+c=9 $



3. Lineares Gleichungssystem (LGS) Lösen

$\qquad$ Stelle lineares Gleichungssytem auf, mit deinen Gleichungen oben:


$\qquad$ $ \large \begin{cases} -a+b-c+d &=2 \:\:\: I\\ 3a-2b+c &=0 \:\:\: II\\ 6a+2b &=0 \:\:\: III\\ 12a+4b+c &=9 \:\:\: IV \end{cases} $

$\qquad$ Um das LGS zu lösen, hast du verschiedene Methoden!

Mit dem Additionsverfahren, hast du nun:



$ \qquad\qquad \large II-IV \Rightarrow\:\: -9a-6b=-9\:\: V $

$ \qquad\qquad \large \textcolor{orange}{3}\cdot III + V \Rightarrow \begin{cases} \textcolor{orange}{18}a + \textcolor{orange}{6}b &= \textcolor{orange}{0} \\ -9a-6b &=-9 \\ \hline 9a &= -9 \qquad |\: :9 \end{cases} $

$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{DodgerBlue}{a=-1}} $


$\qquad$ Setze $a=-1$ in $III$ ein:

$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 6(-1)+2b =0 \qquad|\: +6 \\ $

$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 2b =6 \qquad\qquad \:\:\:\:\:\:\:\:|\: :2 \\ $

$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{OliveGreen}{b=3}} $


$\qquad$ Setze $a=-1$, $b=3$ in $II$ ein:

$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 3(-1)-2(3)+c=0 $

$\qquad$ Klammer auf und fasse zusammen:

$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: -3-6+c=0 \qquad|\: +9 $

$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{BurntOrange}{c=9}} $


$\qquad$ Setze $a=-1$, $b=3$ und $c=9$ in $I$ ein:

$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: -(-1)+3-9+d=2 $

$\qquad$ Klammer auf und fasse zusammen:

$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 1+3-9+d=2 \qquad|\: +5 $

$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{DarkOrchid}{d=7}} $



4. Rekonstruierte Funktion bestimmen

$\qquad$ Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

$\qquad \qquad$ $ \Large f(x)=-x^3+3x^2+9x+7 $


Übungsaufgaben


Bestimme jeweils eine Funktion, die folgende Eigenschaften besitzt.


  1. Eine Funktion 2. Grades, besitzt einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $(0|-3)$ und einen Hochpunkt bei $H(3|2)$
    Lösung
    1. Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

    • Eine Funktion 2. Grades ist eine quadratische Funktion, der Form:

      $ \qquad f(x)=ax^2+bx+c$, $\qquad a, b \:\:und\:\: c \in \mathbb{R} $


    • Die 1. und 2. Ableitungen sind:

      $ \qquad f'(x)=2ax+b $

      $ \qquad f”(x)=2a $


    2. Informationen in Mathe Gleichungen übersetzen


    $\:\:\:\:$ I. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S_y(0|-3) \rightarrow f(0)=-3$

    $ \qquad \Leftrightarrow f(0)=a(0)^2+b(0)+c=-3 $

    $ \qquad \longrightarrow {c=-3}\:\:\: \textcolor{red}{(I)} $


    $\:\:\:\:$ II. Der Graph hat ein Hochpunkt beit $H(3|2) \rightarrow f(3)=2$

    $ \qquad \Leftrightarrow a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=2 $

    $ \qquad \Leftrightarrow 9a+3b+c=2\:\:\: \textcolor{red}{(II)} $


    $\:\:\:\:$ III. Der Graph hat ein Hochpunkt beit $H(3|2) \rightarrow f'(3)=0$

    $ \qquad \Leftrightarrow 2a\cdot 3+b=0 $

    $ \qquad \Leftrightarrow 6a+b=0\:\:\: \textcolor{red}{(III)} $

    3. Lineares Gleichungssystem (LGS) auftellen und lösen

    $ \qquad \begin{cases} \begin{align*} c &=-3 \:\:\: \textcolor{red}{(I)}\\ 9a + 3b + c &=2 \:\:\:\:\: \textcolor{red}{(II)}\\ 6a + b &=0 \:\:\:\: \textcolor{red}{(III)} \end{align*} \end{cases} $

    $\:\:\:$ Setze $I$ in $II$

    $ \qquad \Rightarrow 9a+3b-3=2\:\:|\:\:+3 $

    $ \qquad \Leftrightarrow 9a+3b-3=5\:\:\: \textcolor{red}{(IV)} $


    $ \qquad -3\cdot III+IV \Rightarrow \begin{cases} \begin{align*} (6a+b &=0)\cdot(-3)\\ 9a+3b &=5 \end{align*} \end{cases} $ $ \:\: \Rightarrow \:\: \begin{cases} \begin{align*} -18a-3b &=0\\ 9a+3b &=5\\ \hline -9a &=5 \:\:\: |\: (-9) \end{align*} \end{cases} $

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\:\:\:\:\: \large \longrightarrow a=-\frac{5}{9} $

    $\:\:\:$ Setze $a$ in $III$ ein: $\Rightarrow 6(-\frac{5}{9})+b=0 \:\:\:| \: +\frac{30}{9}$

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: \large \longrightarrow b=\frac{30}{9}=\frac{10}{3} $

    4. Rekonstruierte Funktion bestimmen
    $\:\:\:$ Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

    $\qquad$ $ \large f(x)=-\frac{5}{9}x^2+ \frac{10}{3}x-3 $

    Graphische Darstellung
    $ \large f(x)=-\frac{5}{9}x^2+ \frac{10}{3}x-3 $


  2. Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=-2$, eine einfache Nullstelle bei $x_3=0$ und verläuft durch den Punkt $P(-1|-2).$
    Lösung
    Allg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage

    • Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:

      $ \qquad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. $

      Die Nullstellenform lautet:

      $ f(x)=a\cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $

      Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei $ \large \textcolor{DodgerBlue}{x_{1,2}=-2} $ und eine Nullstelle bei $ \large \textcolor{OliveGreen}{x_3=0} $

      Übersetze:
      $ \qquad \large \longrightarrow f(x)=a\cdot (x-\textcolor{DodgerBlue}{2})(x-\textcolor{DodgerBlue}{2})(x-\textcolor{OliveGreen}{0}) $

      Die Funktion verläuft durch den Punkt $P(-1|-2)$

      $ \qquad \Rightarrow f(-1)=-2\:\: \Leftrightarrow \:\:a\cdot (-1+2)(-1+2)(-1-0)=-2 $

      Klammer auf und fasse zusammen:

      $ \qquad \Rightarrow\:\: a\cdot 1\cdot (-1)=-2 $

      $ \qquad \large \iff \:\: a=2 $

      Nun lautet die Funktionsgleichung (Funktionsterm):

      $ \qquad f(x)= 2\cdot (x+2)(x+2)(x-0), $

      Multipliziere die Klammern aus und bringe die Funktion in die allgemeine Form:

      $ \qquad f(x)= 2\cdot (x^2+4x+4) $

      $ \qquad = 2x^3+8x^2+8x $

      Die Funktionsgleichung lautet:

      $\qquad$ $ \large f(x)=2x^3+8x^2+8x $


    Graphische Darstellung
    $ \:\:\: \large f(x)=2x^3+8x^2+8x $



  3. Die Funktion ist vom Grad 3, punktsymmetrisch und verläuft durch die Punkte $P(1|-1,5).$ und $Q(3|7,5)$.
    Lösung
    Allg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage

    • Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:

      $ \qquad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. $

      Da die Funktion punktsymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit gerade Exponenten:

      $\qquad \longrightarrow f(x)=ax^3+cx $

      Die Punkte $P(1|-1,5)$ und $Q(3|7,5)$ liegen auf f:

      Bedeutet:

      $\qquad$ – Setze $P(1|-1,5)$ in die Gleichung ein:

      $ \qquad\qquad \Rightarrow a\cdot 1^3+c\cdot 1=-1,5 $

      $ \qquad\qquad \Leftrightarrow a+c=-1,5\:\:\: (I) $

      $\qquad$ – Setze $Q(3|7,5)$ in die Gleichung ein:

      $ \qquad\qquad \Rightarrow a\cdot 3^3+c\cdot 3=7,5 $

      $ \qquad\qquad \Leftrightarrow 27a+3c=7,5\:\:\: | \textcolor{red}{:3} $

      $ \qquad\qquad \rightarrow 9a+c=2,5\:\:\: (II) $

      Stelle ein Lineares Gleichungssystem auf und löse es:

      $ \qquad \qquad \begin{align*} \begin{cases} a+c &=-1,5 \:\:\: (I) \\ 9a+c &=2,5 \:\:\:\:\:\: (II) \end{cases} \end{align*} $

      $\qquad \qquad (I)-(II)\:\: \Rightarrow \:\: -8a=-4\:\:\:|\: \textcolor{red}{:(-8)} $

      $\qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\:\:\:\: \large \rightarrow \:\: a=\frac{1}{2} $

      $\qquad$ Setze $a$ in $(I)$ ein:

      $ \qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\: \Rightarrow\:\: \frac{1}{2}+c=-1,5\:\:\: |\: \textcolor{red}{-0,5} $

      $\qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\:\:\:\: \large \rightarrow \:\: c=-2 $

      Die Funktionsgleichung lautet:

      $\qquad\qquad$ $ \large f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x. $

    Graphische Darstellung
    $ \qquad \large f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x $

    Punktsymmetrie: $ \Large \textcolor{DodgerBlue}{f(-x)}= \textcolor{OliveGreen}{-f(x)} $




  4. Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=1$ und geht durch den Punkt $P(0|3)$.
    Lösung
    Allg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage

    • Eine Funktion 4. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:

      $ \qquad f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e. $

      und dir Nullstellenform: $f(x)=a\cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$

      Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=1$ und weil achsensymmetrisch,
      hat sie ebenfalls eine doppelte Nullstelle bei $x_{3,4}=-1$.

      Das heißt, die Nullstellenform ist:
      $ \qquad f(x)=a\cdot (x-1)(x-1)(x+1)(x+1) $

      Der Punkte $P(0|3)$ liegt auf f:

      Bedeutet:

      $\qquad$ Setze $P(0|3)$ in die Gleichung ein und löse nach $a$:

      $\qquad$ $a\cdot (x-1)(x-1)(x+1)(x+1)=3 $

      Klammer auf und fasse zusammen:

      $\qquad a\cdot (-1)(-1)\cdot 1 \cdot 1=3 $

      Stelle nun den Funktionsterm auf:

      $ \Large \downarrow $ Multipliziere die Klammern aus und bringe die Funktion in die allgemeine Form.

      $ f(x)=3\cdot (x-1)(x+1)\cdot (x-1)(x+1) $


      $ \Large \downarrow $ Benutze die 3. binomische Formel.

      $ \qquad \Rightarrow f(x)=3\cdot (x^2-1)\cdot (x^2-1) $

      $ \qquad \Rightarrow f(x)=3\cdot (x^4-2x^2+1) $

      $ \qquad \Leftrightarrow f(x)=3x^4-6x^2+3 $

      Die Funktionsgleichung lautet:

      $\qquad\qquad$ $ \large f(x)=3x^4-6x^2+3. $


    Graphische Darstellung
    $ \qquad \large f(x)=3x^4-6x^2+3. $






Weitere Aufgaben


Aufgaben mit nichtrationalen Funktionen

  1. Bestimme eine Exponentialfunktion der Form $f(x)=a^x+b$, welche durch die Punkte $P(1|4)$ und $Q(-1|\frac{4}{3})$ geht.
    Lösung

    Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein:

    $\:\:\:$ Für $P$ $\Rightarrow\:a^1+b=4$

    $\:\:\:$ Für $Q$ $\Rightarrow\:a^{-1}+b=\frac{4}{3}$

    Löse das Gleichungssystem:

    $ \qquad \begin{cases} \begin{align*} a+b &=4 \:\:\:\: (I)\\ a^{-1}+b &=\frac{4}{3} \:\: (II) \end{align*} \end{cases} $

    Subtrahiere die Gleichungen:

    $\qquad (I)-(II) \: \Rightarrow\: a-a^{-1}=4-\frac{4}{3}$

    Fasse zusammen und mache Gleichnahmig:

    $\qquad \large \iff a-\frac{1}{a}=\frac{8}{3} \iff \frac{3\cdot a^2}{3a}- \frac{3\cdot 1}{3a}-\frac{8\cdot a}{3a}=0 $

    $\qquad \Rightarrow 3a^2-8a-3=0\:\: |\: :3 $

    $\qquad \Rightarrow a^2-2,66a-1=0 $

    Löse mit pq-Formel oder andere Formeln:

    $\qquad$ Mit pq-Formel: $a^2-2,66a-1=0$, mit $p=-2,66$ und $q=-1$.

    Die 2 Lösungen sind:

    $\qquad$ $ \large a_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} $

    Setze $p$ und $q$ ein:

    $\qquad$ $ \longrightarrow \begin{cases} a_1=2,99\approx3\\ oder\\ a_2=-0,33 \:\: \textcolor{red}{\longrightarrow (entfällt\: bei\: Exponentialfunktionen)} \end{cases} $

    $\qquad$ $ \Rightarrow $ die Lösung ist $ \large \underline {a=3} $

    Setze $a=3$ in Gleichung $(I)$ ein:

    $\qquad$ $ \Rightarrow 3+b=4\:\:|\: (-3) $

    $\qquad$ $ \iff \large \underline{b=1} $

    Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann also:

    $\qquad$ $ \large f(x)=3^x+1 $

    Graphische Darstellung

    $ \large f(x)=3^x+1 $




  2. Gesucht ist eine Funktion der Form $f(x)=log_a x$. Die Funktion geht durch den Punkt $P(8|1,5)$.
    Ermittle die Funktionsgleichung.
    Lösung

    Setze $P$ in die Funktion $f$ ein und löse nach a auf:

    $\qquad$ $ 1,5=log_a\:8 $

    $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Nach Logarithmusgesetze:

    $\qquad$ $ \large a^{1,5}=8 $

    $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Schreibe den Exponenten rationale um:

    $\qquad$ $ \large a^{\frac{3}{2}}=8 $

    $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Es gilt nach dem dritten Potenzgesetz:

    $\qquad$ $ \large (a^3)^{\frac{1}{2}}=8 \:\:\:\:|\:\:\:\: \frac{3}{2} \equiv 3\cdot \frac{1}{2} $

    $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ oder auch:

    $\qquad$ $ \large \sqrt{a^3}=8 $

    $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Quadriere $(…)^2$:

    $\qquad$ $ \large a^3=64 $

    $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Ziehe die dritte Wurzel $\sqrt[3]{{…}}$:

    $\qquad$ $ \large a=4 $

    $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $

    Damit lautet die Basis Funktionsgleichung:

    $\qquad$ $ \large f(x)=log_4\:x $

    Graphische Darstellung

    $ \large f(x)=log_4\:x $