Bogenschießen

a) Welche Scheibe trifft er?
* Scheiben Bär, Wolf und Elch prüfen:

- Erstmal mit $x= -155$ , $y$ und $z$ finden:

Ortsvektor $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})$ , Richtungsvektor $(\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})$

$\longrightarrow$ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+r\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=(\begin{matrix} -155 \\ y \\ z \end{matrix})$
daraus ein Gleichungssystem:
\begin{cases} 0-r=-155\quad \quad \left( 1 \right) \longrightarrow r=155 \\ 0+3r=y\quad \quad \quad \quad \left( 2 \right) \longrightarrow y=3r\longrightarrow y=3(155)=465 \\ 15+0,5r=z\quad \quad \left( 3 \right) \longrightarrow z=15+0,5(155)=92,5 \end{cases}
also mit $r=155$ , $\longrightarrow$ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+155\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=(\begin{matrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{matrix})$

$\longrightarrow$ Die Scheibe 2 (Wolf) $(\begin{matrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{matrix}),\quad$ ist getroffen!

- Zweitens mit $y = 465$ , $x$ und $z$ finden:

$\longrightarrow$ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+r\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=(\begin{matrix} x \\ 465 \\ z \end{matrix})$

daraus ein Gleichungssystem:
\begin{cases} 0-r=x\quad \quad \left( 1 \right) \longrightarrow x=-r=-155 \\ 0+3r=465\quad \quad \quad \quad \left( 2 \right) \longrightarrow r=155 \\ 15+0,5r=z\quad \quad \left( 3 \right) \longrightarrow z=15+0,5(155)=92,5 \end{cases}
also mit $r=155$ , $\longrightarrow$ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+155\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=(\begin{matrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{matrix})$

$\longrightarrow$ Die Scheibe 2 (Wolf) $(\begin{matrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{matrix}),\quad$ ist getroffen!

Nach der Prüfung sehen wir dass Wolf doch getroffen ist, man hätte auch nur für x gemacht und entscheiden, da er nicht 2 auf einmal treffen kann.

* Wie lang ist die Flugbahn?
$s=r\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=155\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})\\ \longrightarrow \left| s \right| =155\cdot \sqrt { { (-1) }^{ 2 }+{ (3) }^{ 2 }+{ (0,5) }^{ 2 } } =496,24dm=49,62m$
$\longrightarrow$ Die Flugbahn ist $49,62m$ lang.

* Welche Geschwindigkeit hat der Pfeil?
$s=v\cdot t\quad |\div t\quad (mit\quad t=1s)\\$
$\frac { s }{ t } =v\longrightarrow v=\frac { 49,62m }{ 1s } =49,62{ m }/{ s }$
$\longrightarrow$ Der Pfeil hat eine Geschwindigkeit von $49,62{ m }/{ s }$

b) In welche Richtung $\vec { w }$ muss der Schütze zielen, um die Elchscheibe zu treffen?
Koordinaten des Richtungsvektors finden, mit der Elchscheibe als Ziel:

$(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+r\cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})=(\begin{matrix} -160 \\ 640 \\ 95 \end{matrix})\quad |-(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})$

$\longrightarrow$ $r\cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})=(\begin{matrix} -160-0 \\ 640-0 \\ 95-15 \end{matrix})=(\begin{matrix} -160 \\ 640 \\ 80 \end{matrix})$

mit $r=80,\quad$ haben wir $80\cdot (\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{matrix})$
$\longrightarrow$ Der Schütze muss in der Rightung $(\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{matrix})$ zielen um die Elchscheibe zu treffen.

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