$\qquad\qquad$ $ \textcolor{green}{Lösung:} $
$\qquad\qquad$ a)
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ * Welche Scheibe trifft er?
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Scheiben Bär, Wolf und Elch prüfen:
$\qquad\qquad$ Erstmal mit $x= -155$, $y$ und $z$ finden:
$\qquad\qquad\qquad$ Ortsvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}$, Richtungsvektor $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -155 \\ y \\ z \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ daraus ein Gleichungssystem:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 0-r=-155\: \longrightarrow r=155 \\ 0+3r=y\: \longrightarrow y=3r \longrightarrow y=3(155)=465 \\ 15+0,5r=z\: \longrightarrow z=15+0,5(155)=92,5 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ also mit $r=155, \longrightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} +155\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow$ Die Scheibe 2 (Wolf) $ \begin{pmatrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{pmatrix} $, ist getroffen!
$\qquad\qquad$ Zweitens mit $y = 465$, $x$ und $z$finden:
$\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 465 \\ z \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ daraus ein Gleichungssystem:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 0-r=x\: \longrightarrow x=-r=-155 \\ 0+3r=465\: \longrightarrow r=155 \\ 15+0,5r=z\: \longrightarrow z=15+0,5(155)=92,5 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ also mit $r=155$ $\longrightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} +155\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow$ Die Scheibe 2 (Wolf) $ \begin{pmatrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{pmatrix},\: $ ist getroffen!
$\qquad\qquad\qquad$ Nach der Prüfung sehen wir dass Wolf doch getroffen ist, man hätte auch nur für $x$
$\qquad\qquad\qquad$ gemacht und entscheiden, da er nicht 2 auf einmal treffen kann.
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ * Wie lang ist die Flugbahn?
$\qquad\qquad\qquad$ $ s=r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{pmatrix} =155\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \longrightarrow s=155\cdot \sqrt { { (-1) }^{ 2 }+{ (3) }^{ 2 }+{ (0,5) }^{ 2 } } =496,24dm=49,62m $
$\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow$ Die Flugbahn ist $49,62m$ lang.
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ * Welche Geschwindigkeit hat der Pfeil?
$\qquad\qquad\qquad$ $s=v\cdot t\:$ (mit $t=1s$)\\
$\qquad\qquad\qquad$ $ \frac { s }{ t } =v\longrightarrow v=\frac { 49,62m }{ 1s } =49,62{ m }/{ s } $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \longrightarrow$ Der Pfeil hat eine Geschwindigkeit von $49,62{ m }/{ s }$
$\qquad\qquad$ b) In welche Richtung $\vec { w }$ muss der Schütze zielen, um die Elchscheibe zu treffen?
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Koordinaten des Richtungsvektors finden, mit der Elchscheibe als Ziel:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -160 \\ 640 \\ 95 \end{pmatrix} \:\:\:\: \textcolor{red}{|} \:\:\:\: – \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \longrightarrow r\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -160-0 \\ 640-0 \\ 95-15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -160 \\ 640 \\ 80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ mit $r=80$, haben wir $ \frac{1}{80}\cdot \begin{pmatrix} -160 \\ 640 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow$ Der Schütze muss in der Rightung $ \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} $ zielen um die Elchscheibe zu treffen.