Bogenschießen

a) Welche Scheibe trifft er?
* Scheiben Bär, Wolf und Elch prüfen:

    • Erstmal mit x= -155, y und z finden:

Ortsvektor (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix}), Richtungsvektor (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})

\longrightarrow (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+r\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=(\begin{matrix} -155 \\ y \\ z \end{matrix})
daraus ein Gleichungssystem:
\begin{cases} 0-r=-155\quad \quad \left( 1 \right) \longrightarrow r=155 \\ 0+3r=y\quad \quad \quad \quad \left( 2 \right) \longrightarrow y=3r\longrightarrow y=3(155)=465 \\ 15+0,5r=z\quad \quad \left( 3 \right) \longrightarrow z=15+0,5(155)=92,5 \end{cases}
also mit r=155, \longrightarrow (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+155\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=(\begin{matrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{matrix})
 
\longrightarrow Die Scheibe 2 (Wolf) (\begin{matrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{matrix}),\quad ist getroffen!

    • Zweitens mit y = 465, x und z finden:

 
\longrightarrow (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+r\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=(\begin{matrix} x \\ 465 \\ z \end{matrix})

daraus ein Gleichungssystem:
\begin{cases} 0-r=x\quad \quad \left( 1 \right) \longrightarrow x=-r=-155 \\ 0+3r=465\quad \quad \quad \quad \left( 2 \right) \longrightarrow r=155 \\ 15+0,5r=z\quad \quad \left( 3 \right) \longrightarrow z=15+0,5(155)=92,5 \end{cases}
also mit r=155, \longrightarrow (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+155\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=(\begin{matrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{matrix})
 
 
\longrightarrow Die Scheibe 2 (Wolf) (\begin{matrix} -155 \\ 465 \\ 92,5 \end{matrix}),\quad ist getroffen!
   

Nach der Prüfung sehen wir dass Wolf doch getroffen ist, man hätte auch nur für x gemacht und entscheiden, da er nicht 2 auf einmal treffen kann.

* Wie lang ist die Flugbahn?
s=r\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})=155\cdot (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})\\ \longrightarrow \left| s \right| =155\cdot \sqrt { { (-1) }^{ 2 }+{ (3) }^{ 2 }+{ (0,5) }^{ 2 } } =496,24dm=49,62m
\longrightarrow Die Flugbahn ist 49,62m lang.

* Welche Geschwindigkeit hat der Pfeil?
s=v\cdot t\quad |\div t\quad (mit\quad t=1s)\\
\frac { s }{ t } =v\longrightarrow v=\frac { 49,62m }{ 1s } =49,62{ m }/{ s }
\longrightarrow Der Pfeil hat eine Geschwindigkeit von 49,62{ m }/{ s }

b) In welche Richtung \vec { w } muss der Schütze zielen, um die Elchscheibe zu treffen?
Koordinaten des Richtungsvektors finden, mit der Elchscheibe als Ziel:

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})+r\cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})=(\begin{matrix} -160 \\ 640 \\ 95 \end{matrix})\quad |-(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix})

\longrightarrow  r\cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})=(\begin{matrix} -160-0 \\ 640-0 \\ 95-15 \end{matrix})=(\begin{matrix} -160 \\ 640 \\ 80 \end{matrix})

mit r=80,\quad haben wir 80\cdot (\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{matrix})
\longrightarrow Der Schütze muss in der Rightung (\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{matrix}) zielen um die Elchscheibe zu treffen.