Koordinaten und Abstände

Ein Würfel besitzt als Grundfläche das Quadrat ABCD und als Deckfläche das Quadrat EFGH.
Dabei gelte: A(3/2/1), B(3/6/1), G(-1/6/5)

a) Bestimmen Sie die Koordinaten von C, D, E, F, H.
b) Wie lauten die Koordinaten des Mittelpunktes (K) der Seitenfläche BCGF
c) Wie lauten die Koordinaten des Würfelmittelpunktes (M)?
d) Wie lang ist eine Raumdiagonale des Würfels?

Shrägbild

Lösung

a)
Vektor C ist kollineare zu Vektor G(-1/6/5), und besitzt die gleiche Werte für x und y wie auf das Schrägbild, aber nicht für z.

D ist koslineare zu C(-1/6/1), hat x und z genauso gleich zu C aber nicht y.

also: D(1-/2/1)

E ist koslineare zu A(3/2/1), hat x und y gleich aber nicht z.

also: E(3/2/5)

F ist kollidiere zu B(3/6/1), hat x und y gleich aber nicht z.

also: F(3/6/5)

H ist koslineare zu G(-1/6/5), hat x und z gleich aber nicht y.

also: H(-1/2/5).

b)
Der Mittelpunkt (K) der Seitenfläche BCGF ist gleich der Mittelpunkt des Abstandes BG.

{ K }_{ BCGF }={ K }_{ BG }=(\cfrac { -1+3 }{ 2 } |\cfrac { 6+6 }{ 2 } |\cfrac { 5+1 }{ 2 } )=\left< { 1 }|{ 6 }|{ 3 } \right> \longrightarrow K = (1/6/3)

c)
Die Koordinate des Würfelmittelpunktes (M) = Mittelpunkt der Diagonalen BH, AG, FD oder EC, Mit BH=AG=FD=EC.

{ M }_{ BH }={ M }_{ AG }=(\cfrac { -1+3 }{ 2 } |\cfrac { 2+6 }{ 2 } |\cfrac { 5+1 }{ 2 } )=\left< { 1 }|{ 4 }|{ 3 } \right> \longrightarrow M = (1/4/3)

d)
Länge eine Raumdiagonale des Würfels.

\vec { AG } =\vec { G } -\vec { A } =(\begin{matrix} -1-3 \\ 6-2 \\ 5-1 \end{matrix})=\left< { -4 }|4|{ 4 } \right> \longrightarrow  AG = (-4/4/4)

\left| AG \right| =\sqrt { { -4 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } =6,9282...,\quad \longrightarrow |AG|= 6,93