Vektor- oder Kreuzprodukt

October 5, 2023

Das Vektorprodukt ist die Kombination zweier Vektoren, deren Ergebnis ein Vektor senkrecht zu den beiden Vektoren ist.

Das Vektorprodukt wird oft auch als Kreuzprodukt bezeichnet.

Mathematische Definition

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

u⃗ = (\begin{matrix} u1 \\ u2 \\ u3 \end{matrix})

und

v⃗ = (\begin{matrix} v1 \\ v2 \\ v3 \end{matrix})

ist definiert als

u⃗ \times v⃗ = (\begin{matrix} u2 v3 & - & u3 v2 \\ u3 v1 & - & u1 v3 \\ u1 v2 & - & u2 v1 \end{matrix})

Beispiel

Für

u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

und

v⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

ist das Kreuzprodukt

w⃗ = u⃗ \times v⃗ = (\begin{matrix} 2 • 1 - 1 • 4 \\ 1 • 2 - 1 • 1 \\ 1 • 4 - 2 • 2 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}),

mit

w⃗ ⊥ u⃗

und

w⃗ ⊥ v⃗

(⊥ = Senkrecht)

Länge von $w⃗$

|

w⃗

|

=

|

u⃗ \times v⃗

|

=

|

u⃗

|

•

|

v⃗

|

•

sin (α),

- α

der winkel, den

u⃗

und

v⃗

bilden.

-

Der Wert |

w⃗

| entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von

u⃗

und

v⃗

aufgespannt wird.

Beispiele Skizze

Probe zu Orthogonalität

u⃗

o

w⃗

=

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

o

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

=

- 2 + 2 + 0 = 0

➪

u⃗ ⊥ w⃗

v⃗

o

w⃗

=

(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

o

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

=

- 4 + 4 + 0 = 0

➪

v⃗ ⊥ w⃗

Eigenschaften

$u⃗ \times (v⃗ + w⃗) = u⃗ \times v⃗ + u⃗ \times w⃗$

$u⃗ \times v⃗ = - (v⃗ \times u⃗)$

$(u⃗ + v⃗) \times w⃗ = u⃗ \times w⃗ + v⃗ \times w⃗$ (Distributivgesetze)

$(r • u⃗) \times v⃗ = r • (u⃗ \times v⃗) = u⃗ \times (r • v⃗)$

Achtung !!!
Das Kreuzprodukt ist weder assoziativ noch kommutativ.

Übungsaufgaben

$u⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 12 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 12 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} (- 4) • 12 - 0 • 1 \\ 0 • 8 - 3 • 12 \\ 3 • 1 - (- 4) • 8 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} - 48 \\ - 36 \\ 35 \end{matrix})$

$u⃗ = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} 3 • (- 2) - 1 • (1) \\ 1 • (- 1) - (- 2) • (- 2) \\ (- 2) • 1 - 3 • (- 1) \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} - 7 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix})$

$u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 2 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} (- 1) • 2 - 5 • 7 \\ 5 • 6 - 2 • 2 \\ 2 • 7 - (- 1) • 6 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} - 37 \\ 26 \\ 20 \end{matrix})$

$u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} (- 2) • (- 1) - (- 4) • 3 \\ (- 4) • (- 3) - 1 • (- 1) \\ 1 • 3 - (- 2) • (- 3) \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} 14 \\ 13 \\ - 3 \end{matrix})$

Die Multiplikation zweier Vektoren ist ein Skalarprodukt, das heisst, das Ergebnis ist ein Skalar oder eine reelle Zahl.

Das Ergebnis für Kreuzprodukt ist ein Vektor.

Das Skalarprodukt der Vektoren u⃗ und v⃗ schreibt man u⃗ • v⃗ oder u⃗ o v⃗.

Wichtig: Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann man nur bilden, wenn beide gleich viele Komponenten haben.

Definition

Das Skalarprodukt zweier Vektoren u⃗ und v⃗ ist definiert als

ihre komponentenweise Multiplikation

und

die anschließende Ergänzung oder Addition.

Bedeutung:

In der Ebene

u⃗ = (\begin{matrix} u1 \\ u2 \end{matrix}),

v⃗ = (\begin{matrix} v1 \\ v2 \end{matrix})

                                        ➪      u⃗ • v⃗ = u₁v₁ + u₂v₂

              Im Raum

u⃗ = (\begin{matrix} u1 \\ u2 \\ u3 \end{matrix}),

v⃗ = (\begin{matrix} v1 \\ v2 \\ v3 \end{matrix})

➪ u⃗ • v⃗ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Merke:

Die 1. Komponente von u⃗ mit der 1. Komponente von v⃗, (In der Ebene)

Die 2. Komponente von u⃗ mit der 2. Komponente von v⃗, (In der Ebene)

Die 3. Komponente von u⃗ mit der 3. Komponente von v⃗, (Im Raum)

… multipliziert und die resultierenden Produkte werden dann addiert.

Rechenregeln

Das Skalarprodukt von Vektoren folgt denselben Rechenregeln wie die Multiplikation von Zahlen.

Kommutativgesetz für Vektoren: u⃗ • v⃗ = v⃗ • u⃗

Distributivgesetz für Vektoren: (u⃗ + v) ⃗ • w⃗ = u⃗ • w⃗ + v⃗ • w⃗

Assoziativgesetz: (λ • u⃗) o v⃗ = λ • (u⃗ o v⃗), λ ∈ ℝ

Beispiel

Stehen die Vektoren u⃗ und v⃗ senkrecht aufeinander? Überprüfe!

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix}),

v⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix})

Berechne das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗:

(\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix})

•

(\begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix})

= 2 • 3 + 6 • (-1) = 0,

mit dem Skalarprodukt 0, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors also Betrag, ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

|u⃗| =

\sqrt{u⃗•u⃗}

=

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2}}

Im Raum

|u⃗| =

\sqrt{u⃗•u⃗}

=

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2}}

Achtung: Der Nullvektor hat die Länge 0 !!!

Beispiel

In der Ebene

Berechne die Länge des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}) .

Die Formel, mit der wir den Betrag bzw. die Länge berechnen, lautet:

|u⃗| =

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2}}

Wir setzen ein:

|u⃗| =

\sqrt{3^{2} + 4^{2}}

Und nun können wir den Betrag berechnen:

|u⃗| =

\sqrt{9 + 16}

|u⃗| =

\sqrt{25}

|u⃗| =

5

Nun wissen wir: Die Länge des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})

ist 5.

Im Raum

Berechne die Länge (Betrag) des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}) .

Hier noch einmal die Formel für den Betrag lautet:

|u⃗| =

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2}}

Wir setzen ein:

|u⃗| =

\sqrt{2^{2} + 4^{2} + 7^{2}}

|u⃗| =

\sqrt{4 + 16 + 49}

|u⃗| =

\sqrt{69}

Wenn das Ziehen der Wurzel keine glatte Zahl ergibt, ist es manchmal sinnvoller, mit der Wurzel selbst weiterzurechnen. Wenn du aber das Endergebnis brauchst, rundest du es einfach:

|u⃗| =

\sqrt{69}

\approx 8,31 LE

Übungsaufgaben

Berechne jeweils die Länge des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} -2 \\ 7 \end{matrix})

Lösung

u⃗ = (\begin{matrix} -2 \\ 7 \end{matrix})

Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt

|u⃗| =

\sqrt{{(-2)}^{2} + 7^{2}}

| Betrag berechnen

|u⃗| =

\sqrt{4 + 49}

|u⃗| =

\sqrt{53}

Die Länge des Vektors u⃗ ist also |u⃗| =

\sqrt{53}

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix})

Lösung

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix})

Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt

|u⃗| =

\sqrt{2^{2} + {(-1)}^{2} + 5^{2}}

| Betrag berechnen

|u⃗| =

\sqrt{4 + 1 + 25}

|u⃗| =

\sqrt{30}

Die Länge des Vektors u⃗ ist also |u⃗| =

\sqrt{30}

Winkel zwischen Vektoren

u⃗ o v⃗ = |u⃗| • |v⃗| •

cos α

Durch Umformen erhalten wir:

cos α

=

\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|}

⇒

α

= cos^-1

(\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|})

Wichtig: Die Längen u⃗ und v⃗ müssen nicht gleich dem Nullvektor sein.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren

u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix})

und

v⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix})

eingeschlossen wird!

Schritt 1: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren
u⃗ o v⃗ = 1 • 3 + 5 • 7 = 3 + 35 = 38

Schritt 2: Berechne die Beträge der beiden Vektoren

Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des Vektors. In unserem Fall berechnest du die Beträge der Vektoren so:

|u⃗| =

\sqrt{1^{2} + 5^{2}}

|u⃗| =

\sqrt{1 + 25}

|u⃗| =

\sqrt{26}

|u⃗| =

\sqrt{3^{2} + 7^{2}}

|u⃗| =

\sqrt{9 + 49}

|u⃗| =

\sqrt{58}

Schritt 3: Setze alle Werte in die Formel ein

Die Formel zur Berechnung des Winkels lautet:

cos α

=

\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|}

Wir setzen ein:

cos α

=

\frac{38}{\sqrt{26} • \sqrt{58}}

Schritt 4: Forme die Formel um und rechne aus

Die Formel nun noch so umstellen, dass wir den Winkel

α ausrechnen können. Die Formel sieht dann so aus:

α

= cos^-1

(\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|})

Und für unsere Aufgabe bedeutet das:

α

= cos^-1

(\frac{38}{\sqrt{26} • \sqrt{58}})

Das kannst du übrigens nicht ohne Weiteres im Kopf ausrechnen – verwende nun also gern deinen Taschenrechner! Du erhältst folgendes Ergebnis:

α = 11,89 °

Du hast erfolgreich den Winkel

α

berechnet. Um auch den größeren Winkel

α’

zu berechnen, kannst du rechnen:

α’

=

360 ° - α

α’

=

360 ° - 11,89 °

α’

≈

348,11 ° .

Übungsaufgaben

Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

$u⃗ = (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 0.5 \\ - 1 \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 0,5 \\ - 1 \end{matrix})$ $=$ $6 • 0,5 + 4 • (- 1) = 3 - 4 = - 1$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist -1. Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

$u⃗ = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix})$ $=$ $(- 2) • (- 1) + 2 • (-1) = 2 - 2 = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

$u⃗ = (\begin{matrix} 2π \\ 7 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} - 3,5 \\ π \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 2π \\ 7 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} - 3,5 \\ π \end{matrix})$ $=$ $2π • (- 3,5) + 7 • π = 7π - 7π = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

$u⃗ = (\begin{matrix} \sqrt{6} \\ - \sqrt{3} \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} \sqrt{6} \\ - \sqrt{3} \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix})$ $=$ $\sqrt{6} • \sqrt{2} + (- \sqrt{3}) • 2 = – 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren

$u⃗ = (\begin{matrix} - 2 \\ 7 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} - 2 \\ 7 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ $=$ $(- 2) • 5 + 7 • 3 = - 10 + 21 = 11$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 11.

$u⃗ = (\begin{matrix} 0,5 \\ - 1 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 0,5 \\ - 1 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ $=$ $0,5 • 4 + (- 1) • 2 = 2 - 2 = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

$u⃗ = (\begin{matrix} - 8 \\ 1 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} - 8 \\ 1 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix})$ $=$ $(- 8) • 0 + 1 • 6 = 6$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 6.

$u⃗ = (\begin{matrix} 0 \\ - 3π \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 0 \\ - 3π \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix})$ $=$ $0 • \sqrt{2} + (- 3π) • 0 = 0 - 0 = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

Vektoren addieren und subtrahieren

September 29, 2023

Addition von Vektoren

Graphische Darstellung

Vektoren lassen sich als Richtungsanzeigen oder Wegbeschreibungen interpretieren.

Addierst du Vektoren, “führst du zwei Wegbeschreibungen hintereinander aus”.
Anstatt beide Wege nacheinander zu gehen, kann man aber auch gleich 3 nach rechts und 2 nach oben gehen. Das ist die Summe der Vektoren.

Beispielaufgaben

Addiere die Vektoren:

Lösung

Subtraktion von Vektoren

Graphische Darstellung

Beispielaufgaben

Subtrahiere die Vektoren:

Lösung

Übungsaufgaben

Addiere und subtrahiere die Vektoren.

Lösung

= (\begin{matrix} 1 \\ -4 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 & + & 2 \\ -4 & + & (-3) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 3 \\ -7 \end{matrix})

Lösung

= (\begin{matrix} 2 \\ -7 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} -4 \\ 9 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 2 & + & (-4) \\ -7 & + & 9 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix})

Lösung

= (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

-

(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 & – & 0 \\ 2 & – & 4 \\ 2 & – & 1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix})

Skizze:

Lösung

= (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})

-

(\begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 3 & – & (-1) \\ 1 & – & 2 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix})

Satz des Pythagoras | Einfach gemacht!

September 17, 2023

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her

Die Summe der quadrierten Katheten (a) und (b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).

⚠ Merke
Die Formel a²+ b² = c ² ist nur bei rechtwinkligen Dreiecken, wenn c die Hypotenuse ist!

Beispiel

Gegeben sind die beiden Katheten a = 4 und b = 3 eines rechtwinkligen Dreiecks. Berechne die Hypotenuse c.

c² = 4² + 3² | a und b in den Satz des Pythagoras einsetzen und ausrechnen.

c² = 16 + 9 = 25 | √ (Ziehe die Wurzel)

c = 5

Bemerkung: Es gibt zwei Lösungen c = ±5, aber -5 scheidet aus, weil eine Länge nicht negativ sein kann.

⇄ Vorgehen
Wenn man nach einer Kathete sucht, muss man diese Formel umstellen.
$Die Kathetenaundblassen sich zum Beispiel berechnen mita= \sqrt{c2– b2} und b= \sqrt{c2– a2}$

Übungsaufgaben

Prozentrechnung 2

September 7, 2023

Prozentwerte

Der Prozentwert W gibt den Anteil an etwas Ganzem an. Also, der Wert, der dem Anteil des Prozentsatzes vom Grundwert entspricht.

Formel

W = \frac{p \cdot G}{100} = p % \cdot G

Beispiel

     Berechnung des Prozentwerts, wenn G = 400 € und p = 7 %.

     Mit der Formel:
       W = G · p %               (Gegebene Werte einsetzen.)
       W = 400 € · 7 %         (Beide Seiten mit 100 multiplizieren)
       w = 400 € · 0,07 = 28 €

     Mit dem Dreisatz:
       100 % ≙ 400 €    (Beide Seiten durch 100 teilen um 1 % zu erhalten)
           1 % ≙ 4 €         (Beide Seiten mit 7 multiplizieren)
           7 % ≙ 28 €
                                     Antwort: Der Prozentwert beträgt 28 €

Aufgaben zur Prozentrechnung

|

Textaufgaben zur Prozentrechnung

|

Weitere Aufgaben

Prozentrechnung 1

September 6, 2023

Prozentrechnung

	Prozentrechnung

Hinweis

Die Prozentrechnung hilft dabei:

Anteile an etwas Ganzem darzustellen (Proportionalität).
eine Verringerung oder einen Anstieg zu quantifizieren.
eine Evolutionsrate auszudrücken
Anteile einzuschätzen

     Prozent kann man als Bruch ausdrücken:
          z.B. 1% => 1:100 oder 1/100

     Wichtige Begriffe der Prozentrechnung:

Der Grundwert G oder GW.
Der Prozentsatz p %.
Der Prozentwert W oder auch manchmal P.

Grundwerte

Der Grundwert G oder GW wird als “das Ganze” betrachtet, derjenige Wert, welcher 100% entspricht.

Formel

G = \frac{W}{p %} = \frac{W \cdot 100}{p}

Beispiel

Berechnung des Grundwerts, wenn W = 60 € und p = 4 %.

Mit der Formel:

G = \frac{W}{p %}

Gegebene Werte einsetzen:

G = \frac{60 €}{4 %}

G = \frac{60 €}{0,04} = 1500 €

     Mit dem Dreisatz:
       4 % ≙ 60 €         (Beide Seiten durch 4 teilen um 1 % zu erhalten)
       1 % ≙ 15 €         (Beide Seiten mit 100 multiplizieren)
       100 % ≙ 1500 €
                                     Antwort: Der Grundwert beträgt 1500 €

Prozentsätze

Der Prozentsatz p % gibt einen Anteil an einem Grundwert an, dass heisst den prozentualen Anteil zum Grundwert.

Formel

p % = \frac{W}{G} oder p = \frac{W \cdot 100}{G}

Beispiel

     Gegeben ist der Grundwert G = 500 € und der Prozentwert W = 30 €.
     Gesucht ist der Prozentsatz p.

     Mit der Formel:

p = \frac{W}{G}

Gegebene Werte einsetzen:

p = \frac{30 €}{500 €}

p = 0,60 = 6 %

     Mit dem Dreisatz:
       500 € % ≙ 100 %         (Beide Seiten durch 500 teilen um 1 € zu erhalten)
                1 € ≙ 0,2 %          (Beide Seiten mit 30 multiplizieren)
               30 € ≙ 6 %
                                     Antwort: Der Prozentsatz beträgt 6 %

Stochastik

May 21, 2023

Mathe | Formelsammlung

May 9, 2023

Formelsammlung

Ebenen Figuren, Körper, Prozentrechnung, Zinseszinsen, Binomische Formeln, Quadratische Gleichungen, Potenzgesetze, Wurzelgesetze, Lineare Funktionen, Quadratische Funktionen, Trigonometrie, Statistik, Stochastik.

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Bruchrechnung

May 4, 2023

Gleichnamige Brüche addieren.

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April 23, 2023

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Formel

W

=

p · G

100

=

p % · G

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Formel

G

=

W

p %

=

W · 100

p

Formel

p %

=

W

G

p

=

W · 100

G

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