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Category Archives: Mathematik

Ebenengleichungen - von Parameterform in Normalenform umwandeln

October 14, 2023

Parameterform in Normalenform



Eine Ebene in Parameterform wird in die entsprechende Normalenform umgewandelt, indem man den zugehörigen Normalenvektor $vec{n}$ berechnet, einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $vec{a}$ wählt und die beide Vektoren in die allgemeine Normalform einsetzt.

  • von Parameterform in Normalform

  • von Normalform in Koordinatenform



Die Formen:


Parameterform Normalenform
$E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}$ $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$



Weitere Umwandlungen




Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Nornalenform um.

  1. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Parameterform der Ebene $E$

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 1-1\cdot 0\\ 1\cdot 1-0\cdot 1\\ 0\cdot 0-1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0 $

    Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

    $ \qquad\qquad\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} $

    Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

    $ \qquad\qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix}∘\begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix}=0 $


  2. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Parameterform der Ebene $E$

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot 2-(-1)\cdot 4\\ -1\cdot (-3)-2\cdot 1\\ 1\cdot 4-0\cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = 0 $

    Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

    $ \qquad\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} $

    Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $ oder $ \Rightarrow E:[\vec{x}-\vec{a}]∘\vec{n}=0 $

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E: \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix}∘\begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $


  3. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$

    Lösung
    Parameterform der Ebene $E$

    $ \qquad\qquad E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} $

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot (-4)-3\cdot 3\\ 3\cdot (-2)-(-2)\cdot (-4)\\ (-2)\cdot 3-0\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $

    $ \qquad\qquad E: \begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =0 $

    Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

    $ \qquad \qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} $

    Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} ∘ \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $


  4. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$

    Lösung
    Parameterform der Ebene $E$

    $ \qquad\qquad E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} $

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot (-1)-4\cdot 1\\ 4\cdot 2-(-1)\cdot (-1)\\ (-1)\cdot 1-2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = 0 $

    Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

    $ \qquad \qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} $

    Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} ∘ \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $

Ebenengleichungen - von Normalform in Parameterform umwandeln

October 14, 2023

Normalform in Parameterform”


Eine Ebene in Normalform wird in die entsprechende Parameterform umgewandelt, indem man nacheinander folgende Umwandlungen vornimmt:

  • von Normalform in Koordinatenform

  • von Koordinatenform in Parameterform



Die Formen:


Normalenform Parameterform
$E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$ $E:\vec{x} = \vec{a} + r\cdot \vec{b} + s\cdot \vec{c}$



Weitere Umwandlungen




Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.

  1. $ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = 0 $

    Lösung
    $ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = 0 $

    Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):

    $ \qquad \qquad E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = x\cdot 1 + y\cdot 1 + z\cdot (-1)= x + y -z $

    $ \qquad \qquad \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot (-1)= -1 $

    Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:

    $ x+y-z+1=0 $

    Also die Koordinatenform von $E$ lautet:

    $ E:x+y-z=-1 $

    Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:

    $E$ nach $z$ umstellen:

    $ \qquad E:x+y-z=-1 \qquad \qquad \qquad | \qquad \textcolor{red}{-x} \:/\: \textcolor{red}{-y} $

    $ \qquad \qquad \qquad\: -z=-1-x-y \qquad \:\:\:| \qquad \textcolor{red}{:(-1)} $

    $ \qquad\qquad\qquad\:\:\:\: z=1+x+y $

    Setze $x=r$ und $y=s \qquad \Rightarrow \:\: z=1+1\cdot r+1\cdot s$

    Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{1}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$} \end{cases} $

    Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:

    $ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} $


  2. $E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

    Lösung
    $ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = 0 $

    Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):

    $ \qquad \qquad E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = x\cdot 0 + y\cdot 1 + z\cdot 0= 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z $

    $ \qquad \qquad \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = 2\cdot 0+2\cdot 1+2\cdot 0= 2 $

    Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:

    $ 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z-2=0 $

    Also die Koordinatenform von $E$ lautet:

    $ 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z=2 $

    Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:

    $E$ nach $y$ umstellen:

    $ \qquad E:y=2+0\cdot x+0\cdot z $

    Setze $x=r$ und $z=s \qquad \Rightarrow \:\: y=2+0\cdot r+0\cdot s$

    Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{2}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$} \end{cases} $

    Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:

    $ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} $


  3. $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

    Lösung
    $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

    Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):

    $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

    $ \qquad \qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = x\cdot (-10)+y\cdot (-3)+z\cdot 2=-10x-3y+2z $

    $ \qquad \qquad \begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 2\cdot (-10)+3\cdot (-3)+4\cdot 2=-21 $

    Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:

    $ E:-10x-3y+2z+21=0 $

    $ E:-10x-3y+2z=-21 $

    Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:

    $E$ nach $z$ umstellen:

    $ -10x-3y+2z=-21 \qquad | \qquad \textcolor{red}{+10x} \:/\: \textcolor{red}{+3y} $

    $ 2z=-21+10x+3y \qquad | \qquad \textcolor{red}{:2} $

    $ z=-10,5+5x+1,5y $

    Setze $x=r$ und $y=s$: $ \qquad \Rightarrow \qquad z=-10,5+5r+1,5s $

    Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{-10,5}+\textcolor{red}{5}\cdot r+\textcolor{red}{1,5}\cdot s$} \end{cases} $

    Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:

    $ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\-10,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1,5 \end{pmatrix} $


  4. $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

    Lösung
    $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

    Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):

    $ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

    $ \qquad \qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = x\cdot 4+y\cdot 3+z\cdot 2=4x+3y+2z $

    $ \qquad \qquad \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 2\cdot 4+ (-1)\cdot 3+0\cdot 2=5 $

    Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:

    $ E:4x+3y+2z-5=0 $

    $ E:4x+3y+2z=5 $

    Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:

    $E$ nach $z$ umstellen:

    $ 4x+3y+2z=5 \qquad | \qquad \textcolor{red}{-4x} \:/\: \textcolor{red}{-3y} $

    $ 2z=5-4x-3y \qquad | \qquad \textcolor{red}{:2} $

    $ z=2,5-2x-1,5y $

    Setze $x=r$ und $y=s$: $ \qquad \Rightarrow \qquad z=2,5-2r-1,5s $

    Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{2,5}+\textcolor{red}{-2}\cdot r+\textcolor{red}{-1,5}\cdot s$} \end{cases} $

    Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:

    $ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\2,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1,5 \end{pmatrix} $

Ebenengleichungen - von Parameterform in Koordinatenform umwandeln

October 13, 2023

Parameterform in Koordinatenform



Eine Ebene in Parameterform wird in die entsprechende Koordinatenform umgewandelt, indem man nacheinander folgende Umwandlungen vornimmt:

  • von Parameterform in Normalform

  • von Normalform in Koordinatenform



Die Formen:


Parameterform Koordinatenform
$E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}$ $E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$



Weitere Umwandlungen




Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Koordinatenform um.

  1. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Parameterform der Ebene $E$

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 1-1\cdot 0\\ 1\cdot 1-0\cdot 1\\ 0\cdot 0-1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0 $

    Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):

    $ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $

    $\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} =x\cdot 1+y\cdot 1+z\cdot (-1)=x+y-z $

    $\qquad \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} =1\cdot 1+2\cdot 1+4\cdot (-1)=-1 $

    Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man

    $x+y-z+1=0$

    Also die Koordinatenform lautet:

    $E:x+y-z=-1$


  2. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Parameterform der Ebene $E$

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot 2-(-1)\cdot 4\\ -1\cdot (-3)-2\cdot 1\\ 1\cdot 4-0\cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = 0 $

    Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):

    $ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $

    $\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} =x\cdot 4+y\cdot 1+z\cdot 4 = 4x+y+4z $

    $\qquad \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} =2\cdot 4+3\cdot 1+ (-1)\cdot 4=7 $

    Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man

    $4x+y+4z-7=0$

    Also die Koordinatenform lautet:

    $E:4x+y+4z=7$


  3. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$

    Lösung
    Parameterform der Ebene $E$

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot (-4)-3\cdot 3\\ 3\cdot (-2)-(-2)\cdot (-4)\\ (-2)\cdot 3-0\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} = 0 $

    Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):

    $ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $

    $\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =x\cdot (-9)+y\cdot (-14)+z\cdot (-6) = -9x-14y-6z $

    $\qquad \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =-2\cdot (-9)+3\cdot (-14)+ (-1)\cdot (-6) = -18 $

    Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man

    $-9x-14y-6z+18=0$

    Also die Koordinatenform lautet:

    $E:-9x-14y-6z=-18$


  4. $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$

    Lösung
    Parameterform der Ebene $E$

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$

    Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

    $ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot (-1)-4\cdot 1\\ 4\cdot 2-(-1)\cdot (-1)\\ (-1)\cdot 1-2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $

    $ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = 0 $

    Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):

    $ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $

    $\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} =x\cdot (-6)+y\cdot 7+z\cdot (-5) = -6x+7y-5z $

    $\qquad \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} =3\cdot (-6)+2\cdot 7+ 4\cdot (-5) = -24 $

    Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man

    $-6x+7y-5z+24=0$

    Also die Koordinatenform lautet:

    $E:-6x+7y-5z=-24$

Ebenengleichungen - von Koordinatenform in Normalform umwandeln

October 13, 2023

Koordinatenform in Normalform



Eine Ebene in Koordinatenform wird in die entsprechende Normalform umgewandelt, indem man die Einträge des Normalenvektors $\vec{n}$ aus den Koeffizienten der Koordinaten $x, y$ und $z$ in der Koordinatenform abliest und die Einträge von $\vec{a}$ als die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der die Koordinatengleichung erfüllt auswählt.



Die Formen:


Koordinatenform Normalform
$E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$ $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$



Weitere Umwandlungen




Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Normalenform um.

  1. $E:x+y-z+1=0$

    Lösung
    $E:x+y-z+1=0$

    Einträge des Normalenvektors bestimmen.
    Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x, y$ und $z$ überein.

    $\qquad E:1\cdot x + 1\cdot y + (-1)\cdot z+1=0$

    $\qquad \qquad \vec{n}= \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix}$

    Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:

    $x$ und $y$ werden frei gewählt:
    $\qquad \qquad \qquad x=1 \:(a_1)$
    $\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
    $\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + (-1)\cdot z = -1$
    $\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2-z=-1$
    $\qquad \qquad \qquad \Rightarrow z=3\: (a_3)$

    Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix}$

    Und die Normalenform der Ebene:

    $E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}=0$


  2. $E:2x-y+3z-5=0$

    Lösung
    $E:2x-y+3z-5=0$

    Einträge des Normalenvektors bestimmen.
    Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ überein.

    $\qquad E:2\cdot x + (-1)\cdot y + 3\cdot z -5 = 0$

    $\qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}$

    Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:

    $y$ und $z$ werden frei gewählt:
    $\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
    $\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
    $\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2\cdot x + (- 1)\cdot 1 + 3\cdot 1 = 5$
    $\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2x=3$
    $\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow y=\frac{3}{2}\: (a_1)$

    Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\1 \\1 \end{pmatrix}$

    Und die Normalenform der Ebene:

    $E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}=0$


  3. $E:x+15y+2z=19$

    Lösung
    $E:x+15y+2z=19$

    Einträge des Normalenvektors bestimmen.
    Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x, y$ uns $z$ überein.

    $E:1\cdot x + 15\cdot y + 2\cdot z = 19$

    $\qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\15\\2 \end{pmatrix}$

    Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen:

    $y$ und $z$ werden frei gewählt:
    $\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
    $\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
    $\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 1\cdot x + 15\cdot 1 + 2\cdot 1 = 19$
    $\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow x=2\: (a_1)$

    Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix}$

    Und die Normalenform der Ebene:

    $E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 1\\15\\2\end{pmatrix}=0$


  4. $E:-x+2y+4z=0$

    Lösung
    $E:-x+2y+4z=0$

    Einträge des Normalenvektors bestimmen.
    Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ überein.

    $\qquad E:(-1)\cdot x + 2\cdot y + 4\cdot z = 0$

    $\qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix}$

    Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $a$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:

    $y$ und $z$ werden frei gewählt:
    $\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
    $\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
    $\qquad \qquad \qquad \Rightarrow -1\cdot 1 + 2y + 4\cdot 1 = 0$
    $\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2y=-3$
    $\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow y=-\frac{3}{2}\: (a_1)$

    Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\ – \frac{3}{2} \\1 \end{pmatrix}$

    Und die Normalenform der Ebene:

    $E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\-\frac{3}{2}\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} -1\\2\\4\end{pmatrix}=0$

Ebenengleichungen - von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

October 12, 2023

Koordinatenform in Parameterform



Eine Ebene in Koordinatenform wird in die entsprechende Parameterform umgewandelt, indem man setzt:
$\qquad \qquad x=0+r\cdot1+s\cdot0, y=0+r\cdot0+s\cdot1,$
löst die Ebenengleichung nach $z$ auf, und schreibt schließlich $x, y$ und $z$ passend so übereinander, dass sich die gesuchte Parameterform leicht ablesen lässt.

Vorsicht: das kann nur so gehen, wenn $z$ in der Koordinatenform vorkommt. Falls das nicht der Fall ist, aber z.B. $y$ vorkommt, vertausche die Rollen von $y$ und $z$ im obenen Text.



Die Formen:


Koordinatenform Parameterform
$E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$ $E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}$



Weitere Umwandlungen




Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Parameterform um.

  1. $E:2y-3=0$

    Lösung
    $E:2y-3=0$

    Grundwissen: Ebenendarstellung.

    Die Ebenengleichung hat kein $z$ und kann nicht nach $z$ aufgelöst werden, deswegen nach $y$ auflösen:

    $y=\frac{3}{2}$

    Setze jetzt $x=r$ und $z=s$ und schreibe $x, y$ und $z$ passend übereinander.

    $\qquad x=0+1\cdot r+0\cdot s$
    $\qquad y=\frac{3}{2}+0\cdot r+0\cdot s$
    $\qquad x=0+0\cdot r+1\cdot s$

    Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ \frac{3}{2} \\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

    Die Parameterform lautet:

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ \frac{3}{2} \\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$


  2. $E:2x-y+3z-5=0$

    Lösung
    $E:2x-y+3z-5=0$

    Grundwissen: Ebenendarstellung.

    Löse die Ebenengleichung nach $z$ auf:

    $z=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$

    Ersetze $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$

    $z=-\frac{2}{3}r+\frac{1}{3}s+\frac{5}{3}$

    Schreibe $x, y$ und $z$ passend übereinander.

    $x=0+1\cdot r+0\cdot s$
    $y=0+0\cdot r+1\cdot s$
    $z=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\cdot r+\frac{1}{3}\cdot s$

    Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{5}{3}\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\ -\frac{2}{3}\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} $

    Die beiden Richtungsvektoren können noch mit 3 multipliziert werden.

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{5}{3}\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix} $


  3. $E:3x+4z-5=0$

    Lösung
    Grundwissen: Ebenendarstellung.

    Löse die Ebenengleichung nach $z$ auf:

    $z=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$

    Ersetze $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$

    $z=-\frac{3}{4}r+\frac{5}{4}$

    Schreibe $x, y$ und $z$ passend übereinander.

    $x=0+1\cdot r+0\cdot s$
    $y=0+0\cdot r+1\cdot s$
    $z=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}\cdot r+0\cdot s$

    Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{5}{4}\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\ -\frac{3}{4}\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\ 0\end{pmatrix} $

    Die beiden Richtungsvektoren können noch mit 4 multipliziert werden.

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{5}{4}\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} $


  4. $E:-x+2y+4z=0$

    Lösung
    Grundwissen: Ebenendarstellung.

    Löse die Ebenengleichung nach $z$ auf:

    $z=\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}y$

    Ersetze $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$

    $z=\frac{1}{4}r-\frac{1}{2}s$

    Schreibe $x, y$ und $z$ passend übereinander.

    $x=0+1\cdot r+0\cdot s$
    $y=0+0\cdot r+1\cdot s$
    $z=0+\frac{1}{4}\cdot r-\frac{1}{2}\cdot s$

    Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ 0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\ \frac{1}{4}\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} $

    Die beiden Richtungsvektoren können noch mit 4 bzw. 2 multipliziert werden.

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\ 0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix} $

    oder

    $E:\vec{x}= r\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix} $

Ebenengleichungen - von Normalform in Koordinatenform umwandeln

October 12, 2023

Normalform in Koordinatenform


Eine Ebene in Normalform wird in die entsprechende Koordinatenform umgewandelt, indem man das vorliegende Skalarprodukt ausmultipliziert und den erhaltenen Term zusammenfasst.


Die Formen:


Normalenform Koordinatenform
$E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$ $E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$



Weitere Umwandlungen




Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.

  1. $E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

    Lösung
    $E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

    Erst das Skalarprodukt berechnen:

    $E:4\cdot x+(-7)\cdot(y-1)+2\cdot(z-2)=0$

    Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

    $E:4x-7y+7+2z-4=0$

    und jetzt zusammenfassen:

    $E:4x-7y+2z+3=0$

    Die Koordinatenform lautet:

    $E:4x-7y+2z+3=0$ oder $E:4y-7y+2z=-3$


  2. $E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

    Lösung
    $E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

    Erst das Skalarprodukt berechnen:

    $E:0\cdot(x-2)+1\cdot(y-2)+0\cdot(z-2)=0$

    Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

    $E:y-2=0$

    Die Koordinatenform lautet:
    $E:y-2=0$ oder $E:y=2$

    (Hinweis: Die Ebene $E:y-2=0$ ist parallel zur Ebene-$x-z$)


  3. $E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

    Lösung
    $E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

    $E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0$

    Berechne das Skalarprodukt:

    $E:1\cdot x+1\cdot y+(-1)\cdot z-(1\cdot0+1\cdot0+(-1)\cdot1)=0$

    Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

    $E:x+y-z+1=0$

    Die Koordinatenform lautet:
    $E:x+y-z+1=0$ oder $E:x+y-z=-1$



  4. $E:\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$

    Lösung
    $E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

    Berechne das Skalarprodukt:

    $E:-6x-3y+2z=0 \qquad | \qquad \cdot (-1)$

    $E:6x+3y-2z=0$

    Die Koordinatenform lautet:
    $E:6x+3y-2z=0$

Geradengleichungen

October 11, 2023

Geradengleichungen umwandeln


Geraden in der zweidimensionalen Zeichenebene lassen sich durch lineare Funktionsgleichungen der Form $y(x)=mx+n$ erfassen.

Eine Geradengleichung in Normalenform gibt es nur im $\mathbb{R^2}$, da keinen eindeutigen Normalenvektor im $\mathbb{R^3}$ gibt.

Anleitung


  1. Normalenform in Koordinatenform umwandeln

    2. $\qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden

    $\qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren

  2. Koordinatenform in Parameterform umwandeln

    3. $\qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $z$ auflösen

    $\qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$ ersetzen

    $\qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen

Beispiel


$\qquad $ Gegeben ist eine Gerade in Normalenform

$\qquad $ $g:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]= \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘ \begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} \end{bmatrix}=0$

$\qquad \qquad $ 1) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

$\qquad \qquad \qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden

$\qquad \qquad \qquad $ $g:\vec{n}∘\vec{x}-\vec{n}∘\vec{a}= \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=0 $

$\qquad \qquad \qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren / Skalarprodukt

$\qquad \qquad \qquad $ $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-(4\cdot2)-(3\cdot(-1))=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-8+3=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-5=0$

$\qquad \qquad \qquad $ Die Koordinatenform der Gerade lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-5=0\qquad oder \qquad4x+3y=5$


$\qquad \qquad $ 2) Koordinatenform in Parameterform umwandeln

$\qquad \qquad \qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $y$ auflösen

$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y=5 \qquad | \qquad -4x$
$\qquad \qquad \qquad $ $3y=5-4x \qquad | \qquad :3$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}x$

$\qquad \qquad \qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ ersetzen
$\qquad \qquad \qquad \qquad$ $x=r$

$\qquad \qquad \qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen
$\qquad \qquad \qquad $ So sieht’s erst aus:
$\qquad \qquad \qquad $ $g: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u} \qquad oder \qquad g: \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$
$\qquad \qquad \qquad $ mit:
  • $a_1$ und $a_2$ als Koordinaten des Aufpunkts $\vec{a}$
  • $u_1$ und $u_2$ als Koordinaten des Richtungsvektors $\vec{u}$

$\qquad \qquad \qquad $ $x$ und $y$ lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=a_1+r\cdot$$u_1$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=a_2+r\cdot$$u_2$

$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}r$

$\qquad \qquad \qquad $ $y$ wird umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{\frac{5}{3}}$+$r\cdot(\textcolor{red}{-\frac{4}{3}})$
$\qquad \qquad \qquad $ und die allgemeine Form lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{a_2}+r\cdot\textcolor{red}{u_2}$

$\qquad \qquad \qquad $ jetzt wird $x$ umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r\cdot1$
$\qquad \qquad \qquad $ auch geschrieben:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{0}+r\cdot\textcolor{red}{1}$
$\qquad \qquad \qquad $ und das entspricht die allgemeine Form:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{a_1}+r\cdot {u_1}$

$\qquad \qquad \qquad $ zusammen haben wir:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}r$

$\qquad \qquad \qquad $ oder auch

$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{0}+r\cdot \textcolor{red}{1}$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{\frac{5}{3}}+r\cdot (\textcolor{red}{-\frac{4}{3}})$

$\qquad \qquad \qquad $ daraus haben wir die Parameterform:
$\qquad \qquad \qquad $ $g: \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{\frac{5}{3}}\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}\textcolor{red}{1}\\ \textcolor{red}{- \frac{4}{3}}\end{pmatrix}$


Ebenengleichungen umwandeln



Anleitung


  1. Normalenform in Koordinatenform umwandeln

    2. $\qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden

    $\qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren

  2. Koordinatenform in Parameterform umwandeln

    3. $\qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $z$ auflösen

    $\qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$ ersetzen

    $\qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen

Beispiel


$\qquad $ Gegeben ist eine Gerade in Normalenform

$\qquad $ $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]= \begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘ \begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix} \end{bmatrix}=0$

$\qquad \qquad $ 1) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

$\qquad \qquad \qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden

$\qquad \qquad \qquad $ $g:\vec{n}∘\vec{x}-\vec{n}∘\vec{a}= \begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=0 $

$\qquad \qquad \qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren / Skalarprodukt

$\qquad \qquad \qquad $ $\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-(4\cdot2)-(3\cdot(-1))-(2\cdot0)=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-8+3-0=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-5=0$
$\qquad \qquad \qquad $ Die Koordinatenform der Gerade lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-5=0\qquad oder \qquad4x+3y+2z=5$


$\qquad \qquad $ 2) Koordinatenform in Parameterform umwandeln

$\qquad \qquad \qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $z$ auflösen

$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z=5 \qquad | \qquad -4x-3y$
$\qquad \qquad \qquad $ $2z=5-4x-3y \qquad | \qquad :2$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\frac{5}{2}-2x-\frac{3}{2}y$

$\qquad \qquad \qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$ ersetzen
$\qquad \qquad \qquad \qquad$ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad \qquad$ $y=s$

$\qquad \qquad \qquad $ $\Rightarrow$ $z=\frac{5}{2}-2r-\frac{3}{2}s$

$\qquad \qquad \qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen

$\qquad \qquad \qquad $ So sieht’s erst aus:

$\qquad \qquad \qquad $ $E: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}$
$\qquad \qquad \qquad $ oder

$\qquad \qquad \qquad $ $E: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$
$\qquad \qquad \qquad $ mit:
  • $a_1$, $a_2$ und $a_3$ als Koordinaten des Aufpunkts $\vec{a}$
  • $u_1$, $u_2$ und $u_3$ als Koordinaten des 1. Richtungsvektors $\vec{u}$
  • $v_1$, $v_2$ und $v_3$ als Koordinaten des 2. Richtungsvektors $\vec{v}$

$\qquad \qquad \qquad $ $x$, $y$ und $z$ lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=a_1+r\cdot$$u_1+s\cdot$$v_1$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=a_2+r\cdot$$u_2+s\cdot$$v_2$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=a_3+r\cdot$$u_3+s\cdot$$v_3$

$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=s$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\frac{5}{2}-2r-\frac{3}{2}s$

$\qquad \qquad \qquad $ $z$ wird umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\textcolor{red}{\frac{5}{2}}$+$r\cdot(\textcolor{red}{-2})$+$s\cdot(\textcolor{red}{-\frac{3}{2}})$
$\qquad \qquad \qquad $ und die allgemeine Form lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\textcolor{red}{a_3}+r\cdot\textcolor{red}{u_3}+s\cdot\textcolor{red}{v_3}$

$\qquad \qquad \qquad $ jetzt wird $y$ umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=s\cdot1$
$\qquad \qquad \qquad $ auch geschrieben:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{0}+r\cdot\textcolor{red}{1}+s\cdot\textcolor{red}{0}$
$\qquad \qquad \qquad $ und das entspricht die allgemeine Form:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{a_2}+r\cdot\textcolor{red}{u_2}+s\cdot\textcolor{red}{v_2}$

$\qquad \qquad \qquad $ zusammen haben wir:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=s$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\frac{5}{2}-2r-\frac{3}{2}s$

$\qquad \qquad \qquad $ oder auch

$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{0}+r\cdot \textcolor{red}{1}+s\cdot \textcolor{red}{0}$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{0}+r\cdot \textcolor{red}{0}+s\cdot \textcolor{red}{1}$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\textcolor{red}{\frac{5}{2}}+r\cdot(\textcolor{red}{-2})+s\cdot(\textcolor{red}{-\frac{3}{2}})$

$\qquad \qquad \qquad $ daraus haben wir die Parameterform:
$\qquad \qquad \qquad $ $E: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{\frac{5}{2}}\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}\textcolor{red}{1}\\ \textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{-2}\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix}\textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{1}\\ \textcolor{red}{-\frac{3}{2}}\end{pmatrix} $

Übungen Satz des Pythagoras

October 10, 2023

Berechne mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:


  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten mit den Längen a=5 cm und c=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.
    Lösung



  2. Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen 5 cm und 7 cm?
    Lösung

    Gegeben: $a=5cm, b=7cm$
    Gesucht: $c=?$

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
    $\qquad \qquad \Rightarrow\qquad c^2=a^2+b^2$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c=\sqrt{a^2+b^2}$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c=\sqrt{(5cm)^2+(7cm)^2}$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c\approx8,6cm$

    Die Diagonale ist ca. $8,6cm$ lang.


  3. In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Länge der Basis 8 cm und die Höhe ist 4 cm lang. Wie lang sind die beiden Schenkel?
    Lösung
    Gegeben: $a=3,5cm \:(die Basis),\: \frac{a}{2},\: b=4cm\:(Die Hypothenuse)$
    Gesucht: $h=?$

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
    $\qquad \qquad \Rightarrow\qquad b^2=(\frac{a}{2})^2+h^2$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h^2=b^2-(\frac{a}{2})^2$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h=\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h=\sqrt{(4cm)^2-(\frac{3,5cm}{2})^2}$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h\approx3,6cm$

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ Die Höhe ist ca. $3,6cm$ lang.


  4. Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide besitzt eine Seitenlänge von $2m$ die Höhe beträgt $2,5m$. Berechne die Länge der Seitenkanten
    Lösung

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck $MCS$:

    $\qquad s^2=h^2+|\overline{MC}|^2$, mit $\overline{MC}$ gleich die Hälfte der Diagonalen des Quadrates $ABCD$.

    $ \qquad\qquad\qquad\:\: s^2=h^2+(\frac{d}{2})^2 $

    $ \qquad \iff \qquad s=\sqrt{h^2 + \frac{d^2}{4}} $

    $d$ wird im Dreieck $ABC$ mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

    $ \qquad \qquad \qquad d=a^2+a^2=2a^2$

    $d$ in $s$ einsetzen:

    $ \qquad \qquad \qquad s=\sqrt{h^2+\frac{2a^2}{4}} $

    $h=2,5m$ und $a=2m$ einsetzen:

    $ \qquad \qquad \qquad s=\sqrt{(2,5m)^2+\frac{2\cdot(2m)^2}{4}}=2,87m $

    $ \qquad \qquad \qquad s\approx2,9m $

    Die Seitenkante der Pyramide hat eine Lange von ca. $2,9m$.


Aufgaben zum Gaußverfahren

October 8, 2023

Das Gauß-Jordan-Verfahren auch Gaußsche Eliminationsverfahren hilft Gleichungssysteme zu lösen, die 3 oder mehr Gleichungen beinhalten.


Übungsaufgaben


Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.

  1. 3x – 4y = – 26
    2x + 3y = 28
    Lösung
    3x – 4y = – 26
    2x + 3y = 28

    Zuerst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet.

    $ \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} 3 & -4 & -26\\ 2 & 3 & 28 \end{array} \end{bmatrix} $

    Die erste Zeile wird durch 3 und die zweite durch 2 dividiert.

    $ \large \xrightarrow{\text{I:3, II:2}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & -\frac{4}{3} & -\frac{26}{3}\\ \textbf{1} & 3 & \textbf{14} \end{array} \end{bmatrix} $

    Die erste Zeile wird von der zweiten subtrahiert.

    $ \large \xrightarrow{\text{II-I}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & -\frac{4}{3} & -\frac{26}{3}\\ \textbf{0} & \frac{17}{6} & \frac{68}{3} \end{array} \end{bmatrix} $

    Dann teilt man die zweite Zeile durch $\frac{17}{6}$.

    $ \large \xrightarrow{\text{II:$\frac{17}{6}$}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & -\frac{4}{3} & -\frac{26}{3}\\ \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{8} \end{array} \end{bmatrix} $

    Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $-\frac{4}{3}$-fache der zweiten Zeile.

    $ \large \xrightarrow{\text{I $-(-\frac{4}{3})\cdot$II}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{2}\\ \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{8} \end{array} \end{bmatrix} $

    Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:

    $\Longrightarrow$ $\textbf{x=2, y=8}$, Lösungsmenge: $\textbf{L=\{(2,8)\}}$


  2. $ \color{black} \tiny \begin{equation*} \begin{aligned} x+2y-z &=\\ -x-5y-4z &=\\ -x+y+2z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -12 \\ 0 \end{gathered} \end{equation*} $
    Lösung
    $ \color{black} \small \begin{equation*} \begin{aligned} x+2y-z &=\\ -x-5y-4z &=\\ -x+y+2z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -12 \\ 0 \end{gathered} \end{equation*} $

    Zuerst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet.

    $ \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 1 & 2 & -1 &8\\ -1 & -5 & -4 &-12\\ -1 & 1 & 2 &0 \end{array} \end{bmatrix} $

    Die erste Zeile wird mit der zweiten und der Dritten addiert.

    $ \large \xrightarrow[\text{I+III}]{\text{I+II}} \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 1 & 2 & -1 & 8\\ 0 & -3 & -5 & -4\\ 0 & 3 & 1 & 8 \end{array} \end{bmatrix} $

    Die zweite Zeile wird mit der Dritten addiert.

    $ \large \xrightarrow[\text{II+III}]{\text{}} \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 1 & 2 & -1 & 8\\ 0 & -3 & -5 & -4\\ 0 & 0 & -4 & 4 \end{array} \end{bmatrix} $

    $\Longrightarrow$ $z=\frac{4}{-4}=-1$

    $z$ in II einsetzen:
    $-3y-5(-1)=-4$
    $\Longrightarrow$ $y=3$

    $y, z$ in I einsetzen:
    $x+2(3)-(-1)=8$
    $\Longrightarrow$ $x=1$

    $\textbf{L={(1,3,-1)}}$


  3. $ \color{black} \tiny \begin{equation*} \begin{aligned} 2x+2y-3z &=\\ -x-2y-3z &=\\ 2x+4y+6z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -1 \\ 7 \end{gathered} \end{equation*} $
    Lösung
    $ \color{black} \small \begin{equation*} \begin{aligned} 2x+2y-3z &=\\ -x-2y-3z &=\\ 2x+4y+6z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -1 \\ 7 \end{gathered} \end{equation*} $

    Zuerst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet.

    $ \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 2 & 2 & -3 &8\\ -1 & -2 & -3 &-1\\ 2 & 4 & 6 &7 \end{array} \end{bmatrix} $

    Die zweite Zeile wird mit zwei multipliziert und plus der Dritten Zeile addiert.

    $ \large \xrightarrow[\text{2•II+III}]{\text{}} \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 2 & 2 & -3 & 8\\ -1 & -2 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \end{bmatrix} $

    $Da\: ist\: die\: Zeile\: falsch, \:weil\: 0 \neq 5, somit\: existiert\: keine\: Lösung,\\ $.

    $\Longrightarrow$ $\textbf{L={}}$ $\: oder\:$ $\textbf{L=$\varnothing$}$

Linearkombination von Vektoren

October 6, 2023


Eine Linearkombination ist eine Summe der Form:
                                            r1v1⃗ + r2v2⃗ + … + rnvn⃗ , mit ri⃗ ∈ ℝ,
                                            der Vektoren v1⃗ , v2⃗ , … , vn.⃗



Beispiel


Ist der Vektor v⃗ = ( 3 1 0 ) eine Linearkombination der Vektoren w⃗ = ( 2 1 1 ) und t⃗ = ( 1 1 2 ) ?

Errechnung:

                      ( 3 1 0 ) = r • ( 2 1 1 ) + s • ( 1 1 2 ) , r und s ∈ ℝ                       | Ansatz

Ergibt sich ein Lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen:

                      I        2r + s = 3
                      II        r + s = 1                                                        | LGS
                      III      r + 2s = 0

Das Gleichungssystem lässt sich eindeutig lösen,

                      I – 2 • II :                   – s = 1    ➪    s = – 1
                      in I:                      2r – 1 = 3    ➪    r = 2
                      Überprüfung in III:    2 + 2 • ( – 1 ) = 0

Daher gilt:

                      ( 3 1 0 ) = 2 • ( 2 1 1 ) – 1 • ( 1 1 2 ) .

Der Vektor v⃗ = ( 3 1 0 ) ist eine Linearkombination der Vektoren w⃗ = ( 2 1 1 ) und t⃗ = ( 1 1 2 ) .


Aufgaben zur Linearkombination (LK)


Bestimme die Skalare r und s oder λ und μ, sodass der Vektor u⃗ eine Linearkombination der Vektoren v⃗ und t⃗ ist!

  1. u⃗ = ( 1 1 ) , v⃗ = ( 1 2 ) , t⃗ = ( 2 1 )

    Lösung
    Die Skalare r und s sind zu bestimmen, sodass gilt:
    u⃗ = r • v⃗ + s • t⃗

                          ( 1 1 ) = r • ( 1 2 ) + s • ( 2 1 )                       | Ansatz

                          I     1 = 1 • r + 2 • s

                         II     1 = 2 • r + 1 • s                                | LGS

    Löse das LGS

    – 2 • I + II:     – 2 = – 2 • r – 4 • s
                            1 =    2 • r + 1 • s
                        ____________________
                         – 1 =         – 3 • s       ➪    s = 1 3

    s in I:              1 = 1 • r + 2 • ( 1 3 )                                   | – ( 2 3 )

                       1 – 2 3 = r    ➪    r = 1 3


                          1 3 • ( 1 2 ) + 1 3 • ( 2 1 )       =       ( 1 1 )          | Wahre Aussage!

       ➪    u⃗ ist eine Linearkombination der Vektoren v⃗ und t⃗

  2. u⃗ = ( 0 0 ) , v⃗ = ( 1 2 ) , t⃗ = ( 1 – 5 )

    Lösung
    Die Skalare λ und μ sind zu bestimmen, sodass gilt:
    u⃗ = λ • v⃗ + μ • t⃗

                          ( 0 0 ) = λ • ( 1 2 ) + μ • ( 1 – 5 )                       | Ansatz

                          I     0 = 1 • λ + 1 • μ

                         II     0 = 2 • λ + ( – 5 ) • μ                              | LGS

    Löse das LGS

    Aus der ersten Gleichung folgt λ = – μ .
    Setzt man diese Lösung in die zweite Gleichung erhält man:
                            ( – μ ) – 5 • μ = 0
                        ⇔
                                    – 6 • μ = 0       ⇔    μ = 0

    Daraus folgt dann, dass auch λ = 0 gilt.

    Die Vektoren sind linear unabhängig.


      Wichtig:
      Zwei oder mehr Vektoren sind linear unabhängig, wenn alle
      Koeffizienten in der Linearkombination gleich Null sind:
          λ • u⃗ + μ • v⃗ = 0⃗ ,             mit λ = 0 und μ = 0.   λ • u⃗ + μ • v⃗ + ν • t⃗ = 0⃗ , mit λ = 0 , μ = 0 und ν = 0.





    3. Untersuche die Vektoren u⃗ , v⃗ und w⃗ auf lineare Abhängigkeit.

  3. u⃗ = ( 2 4 9 ) , v⃗ = ( 3 2 8 ) , w⃗ = ( 5 1 2 )

    Lösung

    Das zugehörige LGS lautet:
                        2r + 3s + 5t = 0    I
                        4r + 2s + t = 0    II
                        9r + 8s + 2t = 0    III

    Löse das LGS

    Nach Lösung des LGS mit Hilfe des Gaußverfahrens ergibt sich als einzige Lösung:

                        r = 0 , s = 0 und t = 0.



    Die Vektoren u,⃗ v⃗ und w⃗ sind also linear unabhängig.


  4. u⃗ = ( 1 3 3 ) , v⃗ = ( 2 2 4 ) , w⃗ = ( 5 7 11 )

    Lösung

    Das zugehörige LGS lautet:
                        r + 2s + 5t = 0    I
                        3r + 2s + 7t = 0    II
                        3r + 4s + 11t = 0    III

    Im Verlauf des Gaußverfahrens entsteht eine Nullzeile.

    Das LGS ist also unterbestimmt ist und hat unendliche viele Lösungen, zum Beispiel

              r = 1, s = – 2 und t = 1.

    Damit sind die Vektoren linear abhängig.


Weitere Aufgaben
Gegeben sind die Vektoren:

$\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}, \: \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} \:\:sowie \:\: \vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} \:und \:\: \vec{d}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}.$

  • Zeige, dass $\vec{c}$ als LK von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden kann.
  • Zeige, dass $\vec{d}$ nicht als LK von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden kann.
Lösung
Lösung 1.

Ansatz: $\:\:\:\: \large \vec{c}=r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}$

$\qquad\qquad \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} =r\:\cdot$ $\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} +s\:\cdot$ $\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

Gl.-system:

               2 r + s = 3 I
               r + s = 1 II
               r + 2 s = 0 III

Lösungsversuch:

               IV | I – II: ➪ r = 2
               V | IV in I: ➪ s = – 1

Überprüfung:

               IV , V in III: ➪ 0 = 0 ist wahr.

Ergebnis:

               r = 2 , s = – 1

$ \large \vec{c}$ ist als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$:

Darstellbar: $\vec{c}=2\vec{a}-\vec{b} $

Download die Aufgaben in PDF Lösungen


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