Berechne mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten mit den Längen a=5 cm und c=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.

Lösung

Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen 5 cm und 7 cm?

Lösung

Gegeben: $a=5cm, b=7cm$
Gesucht: $c=?$

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$\qquad \qquad \Rightarrow\qquad c^2=a^2+b^2$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c=\sqrt{a^2+b^2}$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c=\sqrt{(5cm)^2+(7cm)^2}$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c\approx8,6cm$

Die Diagonale ist ca. $8,6cm$ lang.

In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Länge der Basis 8 cm und die Höhe ist 4 cm lang. Wie lang sind die beiden Schenkel?

Lösung

Gegeben: $a=3,5cm \:(die Basis),\: \frac{a}{2},\: b=4cm\:(Die Hypothenuse)$
Gesucht: $h=?$

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$\qquad \qquad \Rightarrow\qquad b^2=(\frac{a}{2})^2+h^2$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h^2=b^2-(\frac{a}{2})^2$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h=\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h=\sqrt{(4cm)^2-(\frac{3,5cm}{2})^2}$
$\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h\approx3,6cm$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Die Höhe ist ca. $3,6cm$ lang.

Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide besitzt eine Seitenlänge von $2m$ die Höhe beträgt $2,5m$. Berechne die Länge der Seitenkanten

Lösung

Nach dem Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck $MCS$:

$\qquad s^2=h^2+|\overline{MC}|^2$, mit $\overline{MC}$ gleich die Hälfte der Diagonalen des Quadrates $ABCD$.

$ \qquad\qquad\qquad\:\: s^2=h^2+(\frac{d}{2})^2 $

$ \qquad \iff \qquad s=\sqrt{h^2 + \frac{d^2}{4}} $

$d$ wird im Dreieck $ABC$ mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

$ \qquad \qquad \qquad d=a^2+a^2=2a^2$

$d$ in $s$ einsetzen:

$ \qquad \qquad \qquad s=\sqrt{h^2+\frac{2a^2}{4}} $

$h=2,5m$ und $a=2m$ einsetzen:

$ \qquad \qquad \qquad s=\sqrt{(2,5m)^2+\frac{2\cdot(2m)^2}{4}}=2,87m $

$ \qquad \qquad \qquad s\approx2,9m $

Die Seitenkante der Pyramide hat eine Lange von ca. $2,9m$.

Aufgaben zum Gaußverfahren

October 8, 2023

Das Gauß-Jordan-Verfahren auch Gaußsche Eliminationsverfahren hilft Gleichungssysteme zu lösen, die 3 oder mehr Gleichungen beinhalten.

Übungsaufgaben

Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.

$\begin{matrix} 3x - 4y = - 26 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 2x + 3y = 28 \end{matrix}$

Lösung

$\begin{matrix} 3x - 4y = - 26 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 2x + 3y = 28 \end{matrix}$

Zuerst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet.

$ \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} 3 & -4 & -26\\ 2 & 3 & 28 \end{array} \end{bmatrix} $

Die erste Zeile wird durch 3 und die zweite durch 2 dividiert.

$ \large \xrightarrow{\text{I:3, II:2}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & -\frac{4}{3} & -\frac{26}{3}\\ \textbf{1} & 3 & \textbf{14} \end{array} \end{bmatrix} $

Die erste Zeile wird von der zweiten subtrahiert.

$ \large \xrightarrow{\text{II-I}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & -\frac{4}{3} & -\frac{26}{3}\\ \textbf{0} & \frac{17}{6} & \frac{68}{3} \end{array} \end{bmatrix} $

Dann teilt man die zweite Zeile durch $\frac{17}{6}$.

$ \large \xrightarrow{\text{II:$\frac{17}{6}$}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & -\frac{4}{3} & -\frac{26}{3}\\ \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{8} \end{array} \end{bmatrix} $

Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $-\frac{4}{3}$-fache der zweiten Zeile.

$ \large \xrightarrow{\text{I $-(-\frac{4}{3})\cdot$II}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{2}\\ \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{8} \end{array} \end{bmatrix} $

Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:

$\Longrightarrow$ $\textbf{x=2, y=8}$, Lösungsmenge: $\textbf{L=\{(2,8)\}}$

$ \color{black} \tiny \begin{equation*} \begin{aligned} x+2y-z &=\\ -x-5y-4z &=\\ -x+y+2z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -12 \\ 0 \end{gathered} \end{equation*} $

Lösung

$ \color{black} \small \begin{equation*} \begin{aligned} x+2y-z &=\\ -x-5y-4z &=\\ -x+y+2z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -12 \\ 0 \end{gathered} \end{equation*} $

Zuerst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet.

$ \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 1 & 2 & -1 &8\\ -1 & -5 & -4 &-12\\ -1 & 1 & 2 &0 \end{array} \end{bmatrix} $

Die erste Zeile wird mit der zweiten und der Dritten addiert.

$ \large \xrightarrow[\text{I+III}]{\text{I+II}} \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 1 & 2 & -1 & 8\\ 0 & -3 & -5 & -4\\ 0 & 3 & 1 & 8 \end{array} \end{bmatrix} $

Die zweite Zeile wird mit der Dritten addiert.

$ \large \xrightarrow[\text{II+III}]{\text{}} \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 1 & 2 & -1 & 8\\ 0 & -3 & -5 & -4\\ 0 & 0 & -4 & 4 \end{array} \end{bmatrix} $

$\Longrightarrow$ $z=\frac{4}{-4}=-1$

$z$ in II einsetzen:
$-3y-5(-1)=-4$
$\Longrightarrow$ $y=3$

$y, z$ in I einsetzen:
$x+2(3)-(-1)=8$
$\Longrightarrow$ $x=1$

$\textbf{L={(1,3,-1)}}$

$ \color{black} \tiny \begin{equation*} \begin{aligned} 2x+2y-3z &=\\ -x-2y-3z &=\\ 2x+4y+6z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -1 \\ 7 \end{gathered} \end{equation*} $

Lösung

$ \color{black} \small \begin{equation*} \begin{aligned} 2x+2y-3z &=\\ -x-2y-3z &=\\ 2x+4y+6z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -1 \\ 7 \end{gathered} \end{equation*} $

Zuerst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet.

$ \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 2 & 2 & -3 &8\\ -1 & -2 & -3 &-1\\ 2 & 4 & 6 &7 \end{array} \end{bmatrix} $

Die zweite Zeile wird mit zwei multipliziert und plus der Dritten Zeile addiert.

$ \large \xrightarrow[\text{2•II+III}]{\text{}} \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 2 & 2 & -3 & 8\\ -1 & -2 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \end{bmatrix} $

$Da\: ist\: die\: Zeile\: falsch, \:weil\: 0 \neq 5, somit\: existiert\: keine\: Lösung,\\ $.

$\Longrightarrow$ $\textbf{L={}}$ $\: oder\:$ $\textbf{L=$\varnothing$}$

Linearkombination von Vektoren

October 6, 2023

Eine Linearkombination ist eine Summe der Form:

r1v1⃗ + r2v2⃗ + \dots + rnvn⃗, mit ri⃗ ∈ ℝ,

der Vektoren v1⃗, v2⃗, \dots, vn.⃗

Beispiel

Ist der Vektor

v⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

eine Linearkombination der Vektoren

w⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

t⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) ?

Errechnung:

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = r • (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s • (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), r und s ∈ ℝ

| Ansatz

Ergibt sich ein Lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen:

I 2r + s = 3

II r + s = 1

| LGS

III r + 2s = 0

Das Gleichungssystem lässt sich eindeutig lösen,

I - 2 • II : - s = 1 ➪ s = - 1

in I: 2r - 1 = 3 ➪ r = 2

Überprüfung in

III: 2 + 2 • (- 1) = 0

Daher gilt:

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 2 • (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - 1 • (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) .

Der Vektor

v⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

ist eine Linearkombination der Vektoren

w⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

t⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) .

Aufgaben zur Linearkombination (LK)

Bestimme die Skalare

r und s

oder

λ und μ

, sodass der Vektor

u⃗

eine Linearkombination der Vektoren

v⃗

und

t⃗

ist!

$u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}),$ $v⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}),$ $t⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$

Lösung

Die Skalare $r und s$ sind zu bestimmen, sodass gilt:
$u⃗ = r • v⃗ + s • t⃗$

                      $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = r • (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + s • (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$                       | Ansatz

                      $I 1 = 1 • r + 2 • s$

                     $II 1 = 2 • r + 1 • s$                                | LGS

Löse das LGS

$- 2 • I + II: - 2 = - 2 • r - 4 • s$
                      $1 = 2 • r + 1 • s$
                    $____________________$
                     $- 1 = - 3 • s$ $➪ s = \frac{1}{3}$

$s in I:$            $1 = 1 • r + 2 • (\frac{1}{3})$ $| - (\frac{2}{3})$

                   $1 - \frac{2}{3} = r$ $➪ r = \frac{1}{3}$

                      $\frac{1}{3} • (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + \frac{1}{3} • (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$          $|$ Wahre Aussage!

$➪$ u⃗ ist eine Linearkombination der Vektoren v⃗ und t⃗

$u⃗ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}),$ $v⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}),$ $t⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \end{matrix})$

Lösung

Die Skalare $λ und μ$ sind zu bestimmen, sodass gilt:
$u⃗ = λ • v⃗ + μ • t⃗$

                      $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = λ • (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + μ • (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \end{matrix})$                       | Ansatz

                      $I 0 = 1 • λ + 1 • μ$

                     $II 0 = 2 • λ + (- 5) • μ$                              | LGS

Löse das LGS

Aus der ersten Gleichung folgt $λ = - μ .$
Setzt man diese Lösung in die zweite Gleichung erhält man:
                      $(- μ) - 5 • μ = 0$
                    $\Leftrightarrow$
                                $- 6 • μ = 0$ $\Leftrightarrow μ = 0$

Daraus folgt dann, dass auch $λ = 0$ gilt.

Die Vektoren sind linear unabhängig.

  Wichtig:
  Zwei oder mehr Vektoren sind linear unabhängig, wenn alle
  Koeffizienten in der Linearkombination gleich Null sind:
      $λ • u⃗ + μ • v⃗ = 0⃗, mit λ = 0 und μ = 0.$ $λ • u⃗ + μ • v⃗ + ν • t⃗ = 0⃗, mit λ = 0, μ = 0 und ν = 0.$

u⃗, v⃗ und w⃗

$u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 9 \end{matrix}),$ $v⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 8 \end{matrix}),$ $w⃗ = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Das zugehörige LGS lautet:
                    $2r + 3s + 5t = 0 I$
                    $4r + 2s + t = 0 II$
                    $9r + 8s + 2t = 0 III$

Löse das LGS

Nach Lösung des LGS mit Hilfe des Gaußverfahrens ergibt sich als einzige Lösung:

                    $r = 0, s = 0 und t = 0.$

$Die Vektoren u,⃗ v⃗ und w⃗ sind also linear unabhängig.$

$u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}),$ $v⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}),$ $w⃗ = (\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 11 \end{matrix})$

Lösung

Das zugehörige LGS lautet:
                    $r + 2s + 5t = 0 I$
                    $3r + 2s + 7t = 0 II$
                    $3r + 4s + 11t = 0 III$

$Im Verlauf desGaußverfahrensentsteht eine Nullzeile.$

$Das LGS ist also unterbestimmt ist und hat unendliche viele Lösungen, zum Beispiel$

          $r = 1, s = - 2$ $und t = 1.$

$Damit sind die Vektoren linear abhängig.$

Weitere Aufgaben

Gegeben sind die Vektoren:

$\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}, \: \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} \:\:sowie \:\: \vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} \:und \:\: \vec{d}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}.$

Zeige, dass $\vec{c}$ als LK von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden kann.
Zeige, dass $\vec{d}$ nicht als LK von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden kann.

Lösung

Lösung 1.

Ansatz: $\:\:\:\: \large \vec{c}=r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}$

$\qquad\qquad \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} =r\:\cdot$ $\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} +s\:\cdot$ $\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

Gl.-system:

2 r + s = 3 I

r + s = 1 II

r + 2 s = 0 III

Lösungsversuch:

IV | I - II: ➪ r = 2

V | IV in I: ➪ s = - 1

Überprüfung:

IV, V in III: ➪ 0 = 0 ist wahr.

Ergebnis:

r = 2, s = - 1

$ \large \vec{c}$ ist als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$:

Darstellbar: $\vec{c}=2\vec{a}-\vec{b} $

Download die Aufgaben in PDF

Lösungen

Vektor- oder Kreuzprodukt

October 5, 2023

Das Vektorprodukt ist die Kombination zweier Vektoren, deren Ergebnis ein Vektor senkrecht zu den beiden Vektoren ist.

Das Vektorprodukt wird oft auch als Kreuzprodukt bezeichnet.

Mathematische Definition

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

u⃗ = (\begin{matrix} u1 \\ u2 \\ u3 \end{matrix})

und

v⃗ = (\begin{matrix} v1 \\ v2 \\ v3 \end{matrix})

ist definiert als

u⃗ \times v⃗ = (\begin{matrix} u2 v3 & - & u3 v2 \\ u3 v1 & - & u1 v3 \\ u1 v2 & - & u2 v1 \end{matrix})

Beispiel

Für

u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

und

v⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

ist das Kreuzprodukt

w⃗ = u⃗ \times v⃗ = (\begin{matrix} 2 • 1 - 1 • 4 \\ 1 • 2 - 1 • 1 \\ 1 • 4 - 2 • 2 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}),

mit

w⃗ ⊥ u⃗

und

w⃗ ⊥ v⃗

(⊥ = Senkrecht)

Länge von $w⃗$

|

w⃗

|

=

|

u⃗ \times v⃗

|

=

|

u⃗

|

•

|

v⃗

|

•

sin (α),

- α

der winkel, den

u⃗

und

v⃗

bilden.

-

Der Wert |

w⃗

| entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von

u⃗

und

v⃗

aufgespannt wird.

Beispiele Skizze

Probe zu Orthogonalität

u⃗

o

w⃗

=

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

o

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

=

- 2 + 2 + 0 = 0

➪

u⃗ ⊥ w⃗

v⃗

o

w⃗

=

(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

o

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

=

- 4 + 4 + 0 = 0

➪

v⃗ ⊥ w⃗

Eigenschaften

$u⃗ \times (v⃗ + w⃗) = u⃗ \times v⃗ + u⃗ \times w⃗$

$u⃗ \times v⃗ = - (v⃗ \times u⃗)$

$(u⃗ + v⃗) \times w⃗ = u⃗ \times w⃗ + v⃗ \times w⃗$ (Distributivgesetze)

$(r • u⃗) \times v⃗ = r • (u⃗ \times v⃗) = u⃗ \times (r • v⃗)$

Achtung !!!
Das Kreuzprodukt ist weder assoziativ noch kommutativ.

Übungsaufgaben

$u⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 12 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 12 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} (- 4) • 12 - 0 • 1 \\ 0 • 8 - 3 • 12 \\ 3 • 1 - (- 4) • 8 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} - 48 \\ - 36 \\ 35 \end{matrix})$

$u⃗ = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} 3 • (- 2) - 1 • (1) \\ 1 • (- 1) - (- 2) • (- 2) \\ (- 2) • 1 - 3 • (- 1) \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} - 7 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix})$

$u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 2 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} (- 1) • 2 - 5 • 7 \\ 5 • 6 - 2 • 2 \\ 2 • 7 - (- 1) • 6 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} - 37 \\ 26 \\ 20 \end{matrix})$

$u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} (- 2) • (- 1) - (- 4) • 3 \\ (- 4) • (- 3) - 1 • (- 1) \\ 1 • 3 - (- 2) • (- 3) \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} 14 \\ 13 \\ - 3 \end{matrix})$

Skalarprodukt

October 3, 2023

Die Multiplikation zweier Vektoren ist ein Skalarprodukt, das heisst, das Ergebnis ist ein Skalar oder eine reelle Zahl.

Das Ergebnis für Kreuzprodukt ist ein Vektor.

Das Skalarprodukt der Vektoren u⃗ und v⃗ schreibt man u⃗ • v⃗ oder u⃗ o v⃗.

Wichtig: Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann man nur bilden, wenn beide gleich viele Komponenten haben.

Definition

Das Skalarprodukt zweier Vektoren u⃗ und v⃗ ist definiert als

ihre komponentenweise Multiplikation

und

die anschließende Ergänzung oder Addition.

Bedeutung:

In der Ebene

u⃗ = (\begin{matrix} u1 \\ u2 \end{matrix}),

v⃗ = (\begin{matrix} v1 \\ v2 \end{matrix})

                                        ➪      u⃗ • v⃗ = u₁v₁ + u₂v₂

              Im Raum

u⃗ = (\begin{matrix} u1 \\ u2 \\ u3 \end{matrix}),

v⃗ = (\begin{matrix} v1 \\ v2 \\ v3 \end{matrix})

➪ u⃗ • v⃗ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Merke:

Die 1. Komponente von u⃗ mit der 1. Komponente von v⃗, (In der Ebene)

Die 2. Komponente von u⃗ mit der 2. Komponente von v⃗, (In der Ebene)

Die 3. Komponente von u⃗ mit der 3. Komponente von v⃗, (Im Raum)

… multipliziert und die resultierenden Produkte werden dann addiert.

Rechenregeln

Das Skalarprodukt von Vektoren folgt denselben Rechenregeln wie die Multiplikation von Zahlen.

Kommutativgesetz für Vektoren: u⃗ • v⃗ = v⃗ • u⃗

Distributivgesetz für Vektoren: (u⃗ + v) ⃗ • w⃗ = u⃗ • w⃗ + v⃗ • w⃗

Assoziativgesetz: (λ • u⃗) o v⃗ = λ • (u⃗ o v⃗), λ ∈ ℝ

Beispiel

Stehen die Vektoren u⃗ und v⃗ senkrecht aufeinander? Überprüfe!

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix}),

v⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix})

Berechne das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗:

(\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix})

•

(\begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix})

= 2 • 3 + 6 • (-1) = 0,

mit dem Skalarprodukt 0, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors also Betrag, ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

|u⃗| =

\sqrt{u⃗•u⃗}

=

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2}}

Im Raum

|u⃗| =

\sqrt{u⃗•u⃗}

=

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2}}

Achtung: Der Nullvektor hat die Länge 0 !!!

Beispiel

In der Ebene

Berechne die Länge des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}) .

Die Formel, mit der wir den Betrag bzw. die Länge berechnen, lautet:

|u⃗| =

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2}}

Wir setzen ein:

|u⃗| =

\sqrt{3^{2} + 4^{2}}

Und nun können wir den Betrag berechnen:

|u⃗| =

\sqrt{9 + 16}

|u⃗| =

\sqrt{25}

|u⃗| =

5

Nun wissen wir: Die Länge des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})

ist 5.

Im Raum

Berechne die Länge (Betrag) des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}) .

Hier noch einmal die Formel für den Betrag lautet:

|u⃗| =

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2}}

Wir setzen ein:

|u⃗| =

\sqrt{2^{2} + 4^{2} + 7^{2}}

|u⃗| =

\sqrt{4 + 16 + 49}

|u⃗| =

\sqrt{69}

Wenn das Ziehen der Wurzel keine glatte Zahl ergibt, ist es manchmal sinnvoller, mit der Wurzel selbst weiterzurechnen. Wenn du aber das Endergebnis brauchst, rundest du es einfach:

|u⃗| =

\sqrt{69}

\approx 8,31 LE

Übungsaufgaben

Berechne jeweils die Länge des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} -2 \\ 7 \end{matrix})

Lösung

u⃗ = (\begin{matrix} -2 \\ 7 \end{matrix})

Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt

|u⃗| =

\sqrt{{(-2)}^{2} + 7^{2}}

| Betrag berechnen

|u⃗| =

\sqrt{4 + 49}

|u⃗| =

\sqrt{53}

Die Länge des Vektors u⃗ ist also |u⃗| =

\sqrt{53}

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix})

Lösung

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix})

Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt

|u⃗| =

\sqrt{2^{2} + {(-1)}^{2} + 5^{2}}

| Betrag berechnen

|u⃗| =

\sqrt{4 + 1 + 25}

|u⃗| =

\sqrt{30}

Die Länge des Vektors u⃗ ist also |u⃗| =

\sqrt{30}

Winkel zwischen Vektoren

u⃗ o v⃗ = |u⃗| • |v⃗| •

cos α

Durch Umformen erhalten wir:

cos α

=

\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|}

⇒

α

= cos^-1

(\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|})

Wichtig: Die Längen u⃗ und v⃗ müssen nicht gleich dem Nullvektor sein.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren

u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix})

und

v⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix})

eingeschlossen wird!

Schritt 1: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren
u⃗ o v⃗ = 1 • 3 + 5 • 7 = 3 + 35 = 38

Schritt 2: Berechne die Beträge der beiden Vektoren

Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des Vektors. In unserem Fall berechnest du die Beträge der Vektoren so:

|u⃗| =

\sqrt{1^{2} + 5^{2}}

|u⃗| =

\sqrt{1 + 25}

|u⃗| =

\sqrt{26}

|u⃗| =

\sqrt{3^{2} + 7^{2}}

|u⃗| =

\sqrt{9 + 49}

|u⃗| =

\sqrt{58}

Schritt 3: Setze alle Werte in die Formel ein

Die Formel zur Berechnung des Winkels lautet:

cos α

=

\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|}

Wir setzen ein:

cos α

=

\frac{38}{\sqrt{26} • \sqrt{58}}

Schritt 4: Forme die Formel um und rechne aus

Die Formel nun noch so umstellen, dass wir den Winkel

α ausrechnen können. Die Formel sieht dann so aus:

α

= cos^-1

(\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|})

Und für unsere Aufgabe bedeutet das:

α

= cos^-1

(\frac{38}{\sqrt{26} • \sqrt{58}})

Das kannst du übrigens nicht ohne Weiteres im Kopf ausrechnen – verwende nun also gern deinen Taschenrechner! Du erhältst folgendes Ergebnis:

α = 11,89 °

Du hast erfolgreich den Winkel

α

berechnet. Um auch den größeren Winkel

α’

zu berechnen, kannst du rechnen:

α’

=

360 ° - α

α’

=

360 ° - 11,89 °

α’

≈

348,11 ° .

Übungsaufgaben

Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

$u⃗ = (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 0.5 \\ - 1 \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 0,5 \\ - 1 \end{matrix})$ $=$ $6 • 0,5 + 4 • (- 1) = 3 - 4 = - 1$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist -1. Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

$u⃗ = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix})$ $=$ $(- 2) • (- 1) + 2 • (-1) = 2 - 2 = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

$u⃗ = (\begin{matrix} 2π \\ 7 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} - 3,5 \\ π \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 2π \\ 7 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} - 3,5 \\ π \end{matrix})$ $=$ $2π • (- 3,5) + 7 • π = 7π - 7π = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

$u⃗ = (\begin{matrix} \sqrt{6} \\ - \sqrt{3} \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} \sqrt{6} \\ - \sqrt{3} \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix})$ $=$ $\sqrt{6} • \sqrt{2} + (- \sqrt{3}) • 2 = – 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren

$u⃗ = (\begin{matrix} - 2 \\ 7 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} - 2 \\ 7 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ $=$ $(- 2) • 5 + 7 • 3 = - 10 + 21 = 11$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 11.

$u⃗ = (\begin{matrix} 0,5 \\ - 1 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 0,5 \\ - 1 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ $=$ $0,5 • 4 + (- 1) • 2 = 2 - 2 = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

$u⃗ = (\begin{matrix} - 8 \\ 1 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} - 8 \\ 1 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix})$ $=$ $(- 8) • 0 + 1 • 6 = 6$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 6.

$u⃗ = (\begin{matrix} 0 \\ - 3π \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 0 \\ - 3π \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix})$ $=$ $0 • \sqrt{2} + (- 3π) • 0 = 0 - 0 = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

Vektoren addieren und subtrahieren

September 29, 2023

Addition von Vektoren

Graphische Darstellung

Vektoren lassen sich als Richtungsanzeigen oder Wegbeschreibungen interpretieren.

Addierst du Vektoren, “führst du zwei Wegbeschreibungen hintereinander aus”.
Anstatt beide Wege nacheinander zu gehen, kann man aber auch gleich 3 nach rechts und 2 nach oben gehen. Das ist die Summe der Vektoren.

Beispielaufgaben

Addiere die Vektoren:

Lösung

Subtraktion von Vektoren

Graphische Darstellung

Beispielaufgaben

Subtrahiere die Vektoren:

Lösung

Übungsaufgaben

Addiere und subtrahiere die Vektoren.

Lösung

= (\begin{matrix} 1 \\ -4 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 & + & 2 \\ -4 & + & (-3) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 3 \\ -7 \end{matrix})

Lösung

= (\begin{matrix} 2 \\ -7 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} -4 \\ 9 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 2 & + & (-4) \\ -7 & + & 9 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix})

Lösung

= (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

-

(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 & – & 0 \\ 2 & – & 4 \\ 2 & – & 1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix})

Skizze:

Lösung

= (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})

-

(\begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 3 & – & (-1) \\ 1 & – & 2 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix})

Inversion in Conditionals - Exercises

September 27, 2023

Inversion in Conditionals

1. Invert the following Conditionals.

2. Complete with the appropriate conditionals (0/ I / II or III).

3. Choose the correct answer

Conditionals / Inversion (without ‘if’)

September 26, 2023

First Conditionals – Type I: (Real Present: Possible and Probable)

Replace ‘IF’ with ‘SHOULD’
Form: Should + Subject + 1^st form of the Verb (v1)

Examples:

IF you do not wish to … . ➤ SHOULD you not wish to … .

IF you choose … . ➤ SHOULD you choose … .

More Examples

If it rains, we’ll stay indoors.
Should it rain, we’ll stay indoors.

If you have finished the book, give it to me.
Should you finish the book, give it to me..

Second Conditionals – Type II: (Unreal Present: Possible but Improbable)

Replace ‘IF’ with ‘WERE’
Form:

Were + Subject + Noun / Adjective / Adverb / Past Participle (v3) / Verb-ing
Were + Subject + to – Infinitive / not to-Infinitive (v1)

Examples:

IF she were my girlfriend, … . ➤ WERE she my girlfriend, … .

IF I left home, … . ➤ WERE I to leave home, … .

More Examples

If I were you, I’d tell her the truth.
Were I you, I’d tell her the truth.

If she won the lottery, she’d travel the world.
Were she to win the lottery, she’d travel the world.

Third Conditionals – Type III: (Unreal Past: Impossible)

Replace ‘IF’ with ‘HAD’
Form: Had + Subject + Past Participle (v3)

Examples:

IF it had not rained … . ➤ HAD it not rained … .

IF I had known … . ➤ HAD I known … .

More Examples

If she had arrived earlier, she could’ve helped us.
had she had arrived earlier, she could’ve helped us.

If I had seen you before, I could’ve given it to you.
Had I seen you before, I could’ve given it to you.

If they hadn’t robbed the bank, they wouldn’t have gone to jail.
Had they not robbed the bank, they wouldn’t have gone to jail.

Conditionals - Other Exercises

September 24, 2023

Zero Conditionals

First Conditionals

Second Conditionals

Third Conditionals

All Conditional Sentences

Mixed Conditional Sentences / Exceptions

Zero Conditionals

September 23, 2023

The zero conditional describes situations that are always true.

‘ If ‘ can be replaced by when or whenever without changing the meaning of a given sentence.

Form

The zero conditional is made up of two present simple verbs:

the ‘if’ clause in the present simple
and
the main clause in the present simple.

Examples

If you park your car on double yellow lines, you pay a fine.
(Whenever you park illegally, you pay a fine.)

If water reaches 100 degrees, it boils.
(It is always true, there can’t be a different result sometimes).

You get water if you mix hydrogen and oxygen.
(It’s always true!)

If they go to school, they get up at seven.
(Whenever they go to school they get up at the same time.)

My friends always help me if I ask them.
(My friends help me whenever I ask them.)

Other Forms
Apart from the basic forms (the present simple in the main clause and the if clause),
we can use other verb forms in the zero conditional sentences:

If you want to be healthy, you must exercise.
(a modal verb in the main clause)

If you are tired all day long, sleep more!
(an imperative in the main clause)

Note
‘ If ‘ is the most frequent expression in the if clauses, but other expressions are also possible. even if, provided (that), unless, on condition (that)

Iron melts on condition that it is heated..

He never says hello unless you say hello to him first.

Meat goes off provided that we don’t keep it in a fridge.

the teacher always shouts even if there’s no need.

Berechne mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:

Übungsaufgaben

Beispiel

Aufgaben zur Linearkombination (LK)

Mathematische Definition

Beispiel

Eigenschaften

Übungsaufgaben

Definition

Beispiel

Länge eines Vektors

Beispiel

Winkel zwischen Vektoren

Beispiel

Übungsaufgaben

Addition von Vektoren

Graphische Darstellung

Subtraktion von Vektoren

Graphische Darstellung

Übungsaufgaben

Inversion in Conditionals

1. Invert the following Conditionals.

2. Complete with the appropriate conditionals (0/ I / II or III).

3. Choose the correct answer

Zero Conditionals

First Conditionals

Second Conditionals

Third Conditionals

All Conditional Sentences

Mixed Conditional Sentences / Exceptions

Post navigation