Lagebeziehungen von zwei Ebenen
Lagebeziehungen von zwei Ebenen
Ebenen können auf unterschiedliche Weise im Raum zueinander liegen. Die verschiedenen Optionen sind wie folgt:
Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen
| Ebenen identisch | Jeder Punkt, der auf einer Ebene liegt, liegt auch auf der anderen und es gibt unendlich viele Schnittgeraden. |
|---|---|
| Ebenen schnittpunkt | Ebenen haben genau eine gemeinsame Schnittgerade, die alle Punkte enthält, die auf beiden Ebenen liegen. |
| Ebenen echt parallel | Zwei Geraden sind echt parallel, wenn sie durch eine Verschiebung identisch werden. |
Beispielaufgaben: Schnittgerade
Es gibt zwei Ebenen $G$ (in Koordinatenform) und $H$ (in Parameterform):
$ \qquad G:7x+y-3z-8=0 \:\:$ und $\:\: H:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} $
Setze $H$ in $G$ ein:
$ \qquad G:7(0+r\cdot0+s\cdot1)+(1+r\cdot(-1)+s\cdot0)-3(0+r\cdot2+s\cdot0)-8=0 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow 7s+1-r-6r-8=0 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow 7s-7r-7-8=0\:\:|\: +7r $
$ \qquad\qquad \Rightarrow 7s-7=7r\:\:|\: :7 $
$ \qquad\qquad \iff \underline{s-1=r} $
Setze $r$ in $H$ ein um die Gleichung der Schnittgeraden $g$ zu erhalten:
$ \qquad\qquad g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} + (s-1)\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} $
Fasse zusammen:
$ \qquad\qquad g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + (-1)\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} $
$ \qquad\qquad g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} + (-1)\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} $
$ \qquad\qquad \iff g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2 \end{pmatrix} + \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2 \end{pmatrix} $
$ \qquad\qquad \iff g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2 \end{pmatrix} + \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2 \end{pmatrix} $
Die Schnittgerade lautet:
$ \qquad\qquad g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2 \end{pmatrix} + \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2 \end{pmatrix} $
Übungsaufgaben
Bestimme die Schnittgerade der in Parameter- und Koordinatenform gegebenen Ebenen.
-
$\:\:\:
\large
\textcolor{black}{
E_1:-x+2y+z=-4
}$
$\qquad$
$\qquad$
$
\large
\textcolor{black}{
E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\0\\-1 \end{pmatrix}
+
r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2 \end{pmatrix}
+
s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}}
$
Lösung
Lineare Unabhängigkeit
$\qquad \textcolor{black}{ E_1:-x+2y+z=-4; }$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\0\\-1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}} $
$ \qquad E_1:-(2+0\cdot r+2\cdot s) + 2(0+1\cdot r-1\cdot s) + (-1-2\cdot r+3\cdot s) =-4 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow -2-2s+2r-2s-1-2r+3s=-4 \:\:|\:\:+3 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow -s=-1 \:\:|\:\::(-1) $
$ \qquad\qquad \Longrightarrow \underline{s=1} $
Setze in $E_2$ ein um die Gleichung der Schnittgeraden zu erhalten:
$ \qquad g:\vec{x} = \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} $
Fasse zusammen:
$ \qquad g:\vec{x} = \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} $
$ \qquad \iff g:\vec{x} = \begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} $
Die Schnittgerade lautet:
$ \qquad\qquad\qquad\qquad g:\vec{x} = \begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} $
$ \textcolor{blue}{E_1} \cap \textcolor{purple}{E_2}=g $
$\qquad \textcolor{black}{ E_1:-x+2y+z=-4; }$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\0\\-1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}} $
$ \qquad E_1:-(2+0\cdot r+2\cdot s) + 2(0+1\cdot r-1\cdot s) + (-1-2\cdot r+3\cdot s) =-4 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow -2-2s+2r-2s-1-2r+3s=-4 \:\:|\:\:+3 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow -s=-1 \:\:|\:\::(-1) $
$ \qquad\qquad \Longrightarrow \underline{s=1} $
Setze in $E_2$ ein um die Gleichung der Schnittgeraden zu erhalten:
$ \qquad g:\vec{x} = \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} $
Fasse zusammen:
$ \qquad g:\vec{x} = \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} $
$ \qquad \iff g:\vec{x} = \begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} $
Die Schnittgerade lautet:
$ \qquad\qquad\qquad\qquad g:\vec{x} = \begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} $
Graphische Darstellung
$ \textcolor{blue}{E_1} \cap \textcolor{purple}{E_2}=g $
$\:\:\: \large \textcolor{black}{ E_1:x+2y-2z=5 }$ $\qquad$ $\qquad$ $ \large \textcolor{black}{ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}7\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix}} $
Lösung
Lagebestimmung
$\qquad \textcolor{black}{ E_1:x+2y-2z=5; }$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}7\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix}} $
$ \qquad E_1:(7+4\cdot r+2\cdot s) + 2\cdot (1+1\cdot r-1\cdot s) – 2\cdot (2+3\cdot r+0\cdot s) =5 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow 7+4r+2s+2+2r-2s-4-6r=5 \:\: \iff 5=5\:\: W.A. $
Die Ebenen sind identisch, also liegen aufeinander.
$ \textcolor{blue}{E_1} \equiv \textcolor{purple}{E_2} $
$\qquad \textcolor{black}{ E_1:x+2y-2z=5; }$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}7\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix}} $
$ \qquad E_1:(7+4\cdot r+2\cdot s) + 2\cdot (1+1\cdot r-1\cdot s) – 2\cdot (2+3\cdot r+0\cdot s) =5 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow 7+4r+2s+2+2r-2s-4-6r=5 \:\: \iff 5=5\:\: W.A. $
Die Ebenen sind identisch, also liegen aufeinander.
Graphische Darstellung
$ \textcolor{blue}{E_1} \equiv \textcolor{purple}{E_2} $
$\:\:\: \large \textcolor{black}{ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix} } $ $\qquad$ $\qquad$ $ \large \textcolor{black}{ E_2:2x+y-z-1=0 } $
Lösung
Lagebestimmung
$ \qquad \textcolor{black}{ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix}}; $ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2:2x+y-z-1=0 }$
$ \qquad\qquad \Rightarrow E_1: 2(1+0\cdot r+1\cdot s)+1+1\cdot r+1\cdot s-2-1\cdot r-3\cdot s-1=0 $
$ \qquad\qquad \iff E_1: 0=0 \:\:\: $
Die beiden Ebenen sind identisch, also liegen aufeinander.
$ \textcolor{dodgerblue}{E_1} \equiv \textcolor{purple}{E_2} $
$ \qquad \textcolor{black}{ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix}}; $ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2:2x+y-z-1=0 }$
$ \qquad\qquad \Rightarrow E_1: 2(1+0\cdot r+1\cdot s)+1+1\cdot r+1\cdot s-2-1\cdot r-3\cdot s-1=0 $
$ \qquad\qquad \iff E_1: 0=0 \:\:\: $
Die beiden Ebenen sind identisch, also liegen aufeinander.
Graphische Darstellung
$ \textcolor{dodgerblue}{E_1} \equiv \textcolor{purple}{E_2} $
$\:\:\: \large \textcolor{black}{ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix} } $ $\qquad$ $\qquad$ $ \large \textcolor{black}{ E_2:x-2y+z-2=0 } $
Lösung
Lagebestimmung
$ \qquad \textcolor{black}{ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}}; $ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2:x-2y+z-2=0 }$
$ \qquad \Rightarrow E_1: (1+1\cdot r+(-1)\cdot s) – 2[(-1)+(-1)\cdot r+2\cdot s] + 3+ (-1)\cdot r+ (-1)\cdot s – 2=0 $
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$ \qquad \Rightarrow E_1: 1+r-s + 2+2r-4s + 3-r-s – 2=0 $
$ \qquad \Rightarrow r=-2+3s $
Setze $r$ in $E_1$ ein und fasse zusammen, um die ie Schnittgerade zu erhalten:
$\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} + (-2+3s)\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}} $
$\qquad$ $ \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} – 2\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + 3s\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}} $
$ \qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\1\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-4 \end{pmatrix}} $
$ \qquad \textcolor{black}{ \iff g: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\1\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-4 \end{pmatrix}} $
Die Schnittgerade lautet:
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textcolor{black}{ \iff g: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\1\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-4 \end{pmatrix}} $
$\textcolor{dodgerblue}{E_1} \cap \textcolor{magenta}{E_2}=$
$ \qquad \textcolor{black}{ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}}; $ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2:x-2y+z-2=0 }$
$ \qquad \Rightarrow E_1: (1+1\cdot r+(-1)\cdot s) – 2[(-1)+(-1)\cdot r+2\cdot s] + 3+ (-1)\cdot r+ (-1)\cdot s – 2=0 $
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$ \qquad \Rightarrow E_1: 1+r-s + 2+2r-4s + 3-r-s – 2=0 $
$ \qquad \Rightarrow r=-2+3s $
Setze $r$ in $E_1$ ein und fasse zusammen, um die ie Schnittgerade zu erhalten:
$\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} + (-2+3s)\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}} $
$\qquad$ $ \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} – 2\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + 3s\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}} $
$ \qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\1\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-4 \end{pmatrix}} $
$ \qquad \textcolor{black}{ \iff g: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\1\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-4 \end{pmatrix}} $
Die Schnittgerade lautet:
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textcolor{black}{ \iff g: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\1\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-4 \end{pmatrix}} $
Graphische Darstellung
$\textcolor{dodgerblue}{E_1} \cap \textcolor{magenta}{E_2}=$
Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Zwei Geraden können in der Ebene, im Raum oder auch in höheren Dimensionen unterschiedlich räumlich zueinander ausgerichtet sein.
Mögliche Lage zweier Geraden zueinander
| Geraden identisch | Alle Punkte auf einer Geraden sind auch Punkte auf der anderen Geraden. |
|---|---|
| Geraden schnittpunkt | Zwei Geraden haben einen Schnittpunkt, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben. Der Sonderfall, der hier auftreten kann, besteht darin, dass sie im rechten Winkel zueinander stehen. |
| Geraden echt parallel | Zwei Geraden sind echt parallel, wenn sie durch eine Verschiebung identisch werden. |
| Geraden windschief | Zwei Geraden, die sich überhaupt nicht berühren und nicht parallel zueinander sind, sind windschief zueinander. Dies ist nur für Geraden möglich, die im dreidimensionalen Raum oder einem Raum mit höheren Dimensionen liegen. |
Orientierung bestimmen (analytische Geometrie)
Richtungsvektoren von zwei Geraden $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind:
linear abhängig
Wenn die beiden Geraden entweder identisch oder echt parallel sein:
Mathematische Bedeutung:
$\qquad$ für ein $\lambda \in \mathbb{R}$ es gilt: $\qquad \vec{u}= \lambda \cdot \vec{v}$.
Prüfung: Der Ortsvektor der einen Gerade in die andere Geradengleichung einsetzen.
- wenn die Ortsvektoren gleich sind, sind sie identisch
- wenn die Ortsvektoren nicht gleich sind, sind sie parallel.
linear unabhängig
Wenn die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen, falls nicht, sind sie windschief zueinander.
Prüfung: Die Gleichungen der beiden Geraden gleichsetzen, erhält man eine Lösung, gibt es einen Schnittpunkt, wenn nicht, sind Geraden windschief zueinander.
Übungsaufgaben
Bestimme die Lage der Geraden zueinander und berechne ihren Schnittpunkt wenn er existiert.
-
$\:\:\:
\textcolor{black}{
g: \vec{x}= \begin{pmatrix}3\\7\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix}}$
$\qquad$
$\qquad$
$
\textcolor{black}{
h: \vec{x}= \begin{pmatrix}9\\14\\4 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix}}$
Lösung
Lineare Unabhängigkeit
$\qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}3\\7\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix}}$ $\qquad $ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}9\\14\\4 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix}}$
Prüfe, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind.
$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix} $
Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und berechne für jedes $\lambda$.
$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 6=-8\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4}\\ 9=-12\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4}\\ -12=16\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4} \end{cases} $
Mit alle $\lambda$ gleich den selben Wert, sind die Vektoren linear abhängig.
$\qquad$ ➩ Die Vektoren $g$ und $h$ sind linear abhängig.
$\qquad$ ➪ Daher sind die beiden Geraden parallel oder identisch.
Setze den Ortsvektor $\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}$ des Aufpunktes von $g$ in die Gleichung der zweiten Gerade $h$ ein.
$ \qquad\qquad \begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix} $
Stelle wieder ein lineares Gleichungssystem auf und berechne für jedes s:
$ \qquad \qquad\: \begin{cases} 3=9-8\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=\frac{3}{4} &\rightarrow &s=0,75\\ 7=14-12\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=-\frac{7}{12} &\rightarrow &s\approx0,59\\ 3=4+16\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=-\frac{1}{16} &\rightarrow &s\approx-0,063 \end{cases} $
s hat drei verschiedene Werte.
Mit schon zwei unterschiedliche Werte für s, ist das Gleichungssystem nicht lösbar!
$\qquad$ ➩ Der Aufpunkt der Gerade g liegt also nicht auf der Geraden h.
$\qquad$ Die beiden Geraden können nur noch parallel sein.
$\qquad$ ➪ h$||$g oder g$||$h
$\qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}3\\7\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix}}$ $\qquad $ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}9\\14\\4 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix}}$
Prüfe, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind.
$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix} $
Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und berechne für jedes $\lambda$.
$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 6=-8\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4}\\ 9=-12\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4}\\ -12=16\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4} \end{cases} $
Mit alle $\lambda$ gleich den selben Wert, sind die Vektoren linear abhängig.
$\qquad$ ➩ Die Vektoren $g$ und $h$ sind linear abhängig.
$\qquad$ ➪ Daher sind die beiden Geraden parallel oder identisch.
Setze den Ortsvektor $\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}$ des Aufpunktes von $g$ in die Gleichung der zweiten Gerade $h$ ein.
$ \qquad\qquad \begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix} $
Stelle wieder ein lineares Gleichungssystem auf und berechne für jedes s:
$ \qquad \qquad\: \begin{cases} 3=9-8\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=\frac{3}{4} &\rightarrow &s=0,75\\ 7=14-12\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=-\frac{7}{12} &\rightarrow &s\approx0,59\\ 3=4+16\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=-\frac{1}{16} &\rightarrow &s\approx-0,063 \end{cases} $
s hat drei verschiedene Werte.
Mit schon zwei unterschiedliche Werte für s, ist das Gleichungssystem nicht lösbar!
$\qquad$ ➩ Der Aufpunkt der Gerade g liegt also nicht auf der Geraden h.
$\qquad$ Die beiden Geraden können nur noch parallel sein.
$\qquad$ ➪ h$||$g oder g$||$h
$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}9\\-3\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-7\\5\\-5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6 \end{pmatrix}}$
Lösung
$\qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}9\\-3\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad $ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-7\\5\\-5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6 \end{pmatrix}}$
$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}9\\-3\\6 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6 \end{pmatrix} $
$\lambda$.
$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 9=-9\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ -3=3\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ 6=-6\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1 \end{cases} $
$\lambda$
$\qquad$ ➩
$\qquad$ ➪
$\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$
$ \qquad\qquad \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad\: \begin{cases} 2=-7-9\cdot s \:\: &s=-1\\ 2=5+3\cdot s \:\: &s=-1\\ 1=-5-6\cdot s \:\: &s=-1 \end{cases} $
$\qquad$ ➩
$\qquad$ ➪
$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix}}$
Lösung
Lineare Unabhängigkeit
$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix}}$
$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix} $
$\lambda$.
$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} -4&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ -2&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda= \frac{1}{2}\\ 6&=-6\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda= \frac{3}{5} \end{cases} $
$\lambda$
➪
.
$ \qquad \begin{cases} 1-4r&=-1-4s \\ -2-2r&=-2-4s \\ 1+6r&=2+10s \end{cases} \qquad \xrightarrow[\text{}]{\text{stelle um}} \qquad \begin{cases} 2&=4r-4s \qquad \:\:\:\:\:\:I\\ 0&=2r-4s \qquad \:\:\:\:\:\:II\\ -1&=-6r+10s \qquad III \end{cases} $
$ \:\: I-II:\: 2=2r \Rightarrow \textcolor{green}{\textbf{r=1}}\: |\: r\: in\: III:\: -1=-6(1)+10s \iff 5=10s \Rightarrow$ $\textcolor{blue}{\textbf{s=0,5}} $
$ \qquad \begin{cases} 1-4 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= -1 - 4 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \\ -2-2 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= -2 - 4 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \\ 1+6 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= 2 + 10 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} \textcolor{green}{\textbf{-3}} &= \textcolor{blue}{\textbf{-3}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{green}{\textbf{-4}} &= \textcolor{blue}{\textbf{-4}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{green}{\textbf{7}} &= \textcolor{blue}{\textbf{7}} &\rightarrow \textbf{W.A.} \end{cases} $
$ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s=\begin{pmatrix}-3\\-4\\7 \end{pmatrix} $
$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix}}$
$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix} $
$\lambda$.
$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} -4&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ -2&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda= \frac{1}{2}\\ 6&=-6\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda= \frac{3}{5} \end{cases} $
$\lambda$
➪
.
$ \qquad \begin{cases} 1-4r&=-1-4s \\ -2-2r&=-2-4s \\ 1+6r&=2+10s \end{cases} \qquad \xrightarrow[\text{}]{\text{stelle um}} \qquad \begin{cases} 2&=4r-4s \qquad \:\:\:\:\:\:I\\ 0&=2r-4s \qquad \:\:\:\:\:\:II\\ -1&=-6r+10s \qquad III \end{cases} $
$ \:\: I-II:\: 2=2r \Rightarrow \textcolor{green}{\textbf{r=1}}\: |\: r\: in\: III:\: -1=-6(1)+10s \iff 5=10s \Rightarrow$ $\textcolor{blue}{\textbf{s=0,5}} $
$ \qquad \begin{cases} 1-4 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= -1 - 4 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \\ -2-2 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= -2 - 4 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \\ 1+6 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= 2 + 10 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} \textcolor{green}{\textbf{-3}} &= \textcolor{blue}{\textbf{-3}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{green}{\textbf{-4}} &= \textcolor{blue}{\textbf{-4}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{green}{\textbf{7}} &= \textcolor{blue}{\textbf{7}} &\rightarrow \textbf{W.A.} \end{cases} $
$ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s=\begin{pmatrix}-3\\-4\\7 \end{pmatrix} $
$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}0\\8\\-7 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-9\\0\\7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix}}$
Lösung
Lineare Unabhängigkeit
$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}0\\8\\-7 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-9\\0\\7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix}}$
$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix} $
$\lambda$.
$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 1&=3\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0,3 \\ 2&=1\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0,5 \\ -2&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0.25 \end{cases} $
$\lambda$
➪
.
$ \qquad \begin{cases} 0+1r &=-9+3s \\ 8+2r &=0+1s \\ -7-2r &=7-4s \end{cases} \qquad \xrightarrow[\text{}]{\text{stelle um}} \qquad \begin{cases} 9 &=-1r+3s \qquad I\\ 8 &=-2r+1s \qquad II\\ -14 &=2r-4s \qquad \:\:\:III \end{cases} $
$ \:\: II-III:\: -6=-3s \Rightarrow \textcolor{green}{\textbf{s=2}}\: |\: s\: in\: I:\: 9=-r+3(2) \iff \textcolor{blue}{\textbf{r=-3}} $
$ \qquad \begin{cases} 0+1 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= -9 +3 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \\ 8+2 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= 0 +1 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \\ -7-2 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= 7 - 4 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} \textcolor{blue}{\textbf{-3}} &= \textcolor{green}{\textbf{-3}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{blue}{\textbf{2}} &= \textcolor{green}{\textbf{2}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{blue}{\textbf{-1}} &= \textcolor{green}{\textbf{-1}} &\rightarrow \textbf{W.A.} \end{cases} $
$ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s=\begin{pmatrix}-3\\2\\-1 \end{pmatrix} $
$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}0\\8\\-7 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-9\\0\\7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix}}$
$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix} $
$\lambda$.
$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 1&=3\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0,3 \\ 2&=1\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0,5 \\ -2&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0.25 \end{cases} $
$\lambda$
➪
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$ \qquad \begin{cases} 0+1r &=-9+3s \\ 8+2r &=0+1s \\ -7-2r &=7-4s \end{cases} \qquad \xrightarrow[\text{}]{\text{stelle um}} \qquad \begin{cases} 9 &=-1r+3s \qquad I\\ 8 &=-2r+1s \qquad II\\ -14 &=2r-4s \qquad \:\:\:III \end{cases} $
$ \:\: II-III:\: -6=-3s \Rightarrow \textcolor{green}{\textbf{s=2}}\: |\: s\: in\: I:\: 9=-r+3(2) \iff \textcolor{blue}{\textbf{r=-3}} $
$ \qquad \begin{cases} 0+1 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= -9 +3 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \\ 8+2 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= 0 +1 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \\ -7-2 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= 7 - 4 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} \textcolor{blue}{\textbf{-3}} &= \textcolor{green}{\textbf{-3}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{blue}{\textbf{2}} &= \textcolor{green}{\textbf{2}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{blue}{\textbf{-1}} &= \textcolor{green}{\textbf{-1}} &\rightarrow \textbf{W.A.} \end{cases} $
$ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s=\begin{pmatrix}-3\\2\\-1 \end{pmatrix} $